Zeigen Sie, dass A die Matrix eines Isomorphismus \phi: V → W ist

Question

Es sei $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\0 & 1\end{array}\right)\text {. }$

(a) Zeigen Sie, dass $A$ die Matrix eines Isomorphismus $\phi: V \rightarrow W$ ist, wobei $V$ und $W$ jeweils zweidimensionale Vektorräume über einem Körper $\mathbb{F}$ sind.

(b) Berechnen Sie $A^{2}, A^{3}, A^{4}$ und $A^{5}$.

(c) Destillieren Sie aus Teilaufgabe (b) eine Vermutung über die Form der Matrix $A^{n}$ für $n \in \mathbb{N}$. Beweisen Sie Ihre Vermutung anschließend.

Answer 1

det(A)=1 ≠ 0 . Also lineare Abbildung zwischen gleichdimensionalen

Vektorräumen und Kern = {0}. ==> Ist ein Isomorphismus.

b) deutet auf

Aⁿ =   1   2n
          0     1

Beweis mit vollst. Induktion. wesentlicher Schritt dabei

 $\begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2n+2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2(n+1) \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Comments

Nochmals vielen Dank!!! Bei a) bin ich mir noch nicht ganz sicher, aber der Rest ist dank dir wirklich verständlich geworden. :)