Lineare Abbildung, Kern

Question

Aufgabe:

Sei $f: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}$ eine lineare Abbildung und $F=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)$ eine Basis des $\mathbb{R}^{3}$.
(a) Angenommen es gilt: $f\left(v_{1}+v_{2}\right)=f\left(v_{1}+v_{3}\right)$. Geben Sie ein Element $v \neq 0$ mit $v \in \operatorname{kern}(f)$ an. Punkte)
(b) Angenommen es gilt: $f\left(v_{1}\right)=\dot{v}_{2}, f\left(v_{2}\right)=v_{3}-v_{2}$ und $f\left(v_{3}\right)=4 v_{3},$ Geben Sie $M_{F}^{F}(f)$ an.

Könnt ihr mir zeigen bitte, wie man hier vorgeht?

Comments

Wie lautet bei Teil (b) genau $f(v_1)$? Der Punkt über dem $v_2$ ist sicher irgendein Fehler.

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Ja, stimmt, das mit v2 war ein Tippfehler!

Answer 1

(a) Verwende die Eigenschaft $f(v + w) = f(v) + f(w)$ linearer Funktionen auf der linken und auf der rechten Seite der Gleichung.

(b) Die Spalten von $M_{F}^{F}(f)$ sind die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren.

Beispiel. $f(v_2) = 0\cdot v_1 - 1\cdot v_2 + 1\cdot v_3$. Die zweite Spalte von $M_{F}^{F}(f)$ ist also

        $\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}$.

Comments

Danke Oswald, ich werde das so anwenden!