Aloha :)
a) Am einfachsten zeigst du die lineare Unabhängigkeit von Vektoren, indem du sie als Spalten in eine Matrix schreibst und diese dann mittels elementarer Spaltenoperationen auf Dreieckform bringst. Lineare Abhängigkeiten zeigen sich dann dadurch, dass Nullspalten entstehen.
$$\begin{array}{rrr}:\,(-3) & & :\,2\\\hline-3 & -5 & 4\\-3 & -5 & -2\\3 & 7 & 0\\3 & 7 & 6\end{array}\quad\mapsto\quad\begin{array}{rrr} & +5S_1 & -2S_1\\\hline1 & -5 & 2\\1 & -5 & -1\\-1 & 7 & 0\\-1 & 7 & 3\end{array}\quad\mapsto\quad\begin{array}{rrr} & :\,2 & -S_2\\\hline1 & 0 & 0\\1 & 0 & -3\\-1 & 2 & 2\\-1 & 2 & 5\end{array}\quad\mapsto$$$$\begin{array}{rrr} +S_2 & & :\,3\\\hline1 & 0 & 0\\1 & 0 & -3\\-1 & 1 & 0\\-1 & 1 & 3\end{array}\quad\mapsto\quad\begin{array}{rrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \vec b_3\\\hline1 & 0 & 0\\1 & 0 & -1\\0 & 1 & 0\\0& 1 & 1\end{array}$$Vertauschen von \(\vec b_2\) und \(\vec b_3\) ergibt eine Dreieckmatrix ohne Nullspalten. Die Vektoren sind daher linear unabhängig.
b) Das Schöne an dem durchgeführten Verfahren ist, dass man direkt eine Basis findet. Hier sieht man ohne große Rechnung sofort, dass \(\vec b_1\cdot\vec b_2=0\) ist und diese beiden Vektoren schon orthogonal zueinander stehen. Wir müssen uns also nur noch um den Vektor \(\vec b_3\) kümmern, sodass er orthogonal zu \(\vec b_1\) und \(\vec b_2\) ist:
$$\vec b_3^\perp=\vec b_3-\frac{\left(\vec b_1\cdot\vec b_3\right)}{\left\|\vec b_1\right\|^2}\,\vec b_1-\frac{\left(\vec b_2\cdot\vec b_3\right)}{\left\|\vec b_2\right\|^2}\,\vec b_2$$$$\phantom{\vec b_3^\perp}=\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\1\end{pmatrix}-\frac{\left(\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\1\end{pmatrix}\right)}{\left\|\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}\right\|^2}\,\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}-\frac{\left(\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\1\end{pmatrix}\right)}{\left\|\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}\right\|^2}\,\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}$$$$\phantom{\vec b_3^\perp}=\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\1\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\,\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}-\frac{1}{2}\,\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,5\\-0,5\\-0,5\\0,5\end{pmatrix}$$Schließlich müssen die orthogonalen Basisvektoren nur noch normiert werden:
$$\vec n_1=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\vec n_2=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec n_3=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\\1\end{pmatrix}$$
