Zeige, dass f auch in x0 differenzierbar ist und f′(x0) = m gilt

Question

Aufgabe:

Hallo, vielleicht könnte mir jemand bei der Aufgabe helfen, leider weiß ich nicht so ganz wie ich da ran gehen soll.

Es sei x0 ∈ R beliebig und f : R → R differenzierbar auf R \ {x0} sowie stetig auf ganz
R. Ferner existiere der Grenzwert
m := lim f′(x). x→x0
(i) Zeige, dass f auch in x0 differenzierbar ist und f′(x0) = m gilt.
(ii) Gilt die Aussage aus (i) auch, wenn man die Stetigkeit in x0 nicht voraussetzt?

Answer 1

Hallo,

man überprüft die Differenzierbarkeit im Punkt $x_0$ über den Grenzwert des Differenzenquotienten

$$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=?$$

Dazu betrachtet man eine beliebige Folge $(x_n)$ mit $x_n \to x_0$. Dann besagt der Mittelwertsatz, dass eine Folge $(\xi _n)$ "zwischen" $x_n$ und $x_0$ gibt, so dass:

$$\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}=f'(\xi _n) \to m$$Denn natürlich gilt auch $\xi_n \to x_0$. Also gilt

$$f'(x_0)=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=m$$

Ohne die Stetigkeit von f geht es nicht:

$$f(x):=0, x<0 \text{ und } f(x):=1,x \geq 0$$

Comments

kannst du bitte erklären ,warun f'(ξ_n)→m ?

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Weil $\xi_n \to x_0$ und

$$m=\lim_{x \to x_0} f'(x)$$

Gruß