Gibt es eine lineare Abbildung mit den geforderten Eigenschaften?

Question

Aufgabe:

Gibt es eine lineare Abbildung mit den geforderten Eigenschaften?

Problem/Ansatz:

Ich soll mithilfe der Existenz und Eindeutigkeit beweisen, ob die folgende Abbildung linear ist:

L: ℝ⁴ → ℝ³ mit L(1,0,-2,3) = (4,0,2), L(0,1,2,5) = (1,-1,3), L(1,2,0,-2) = (3,1,-1) und L(2,3,0,6) = (2,0,-2).

Mein Ansatz wäre, die jeweiligen "Paare" auf lineare Abhängigkeit zu überprüfen, nur wie macht man das mit einer ungleichen Anzahl von Zahlen? Ich denke durch Ergänzen, aber wie genau leuchtet mir nicht ein. Und vor allem wie beweise ich die Existenz? Wäre super lieb wenn jemand einen Ansatz oder eine Erklärung für mich hätte :)

Answer 1

Aloha :)

Der vierte Eingangsvektor ist offensichtlich die Summe der ersten drei Eingangsvektoren:

$$\begin{pmatrix}2\\3\\0\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\-2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1\\2\\5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\2\\0\\-2\end{pmatrix}$$Für eine lineare Abbildung \(L\) müsste daher gelten:

$$L\begin{pmatrix}2\\3\\0\\6\end{pmatrix}=L\begin{pmatrix}1\\0\\-2\\3\end{pmatrix}+L\begin{pmatrix}0\\1\\2\\5\end{pmatrix}+L\begin{pmatrix}1\\2\\0\\-2\end{pmatrix}$$Alle diese Funktionswerte sind uns gegeben, sodass wir das nachprüfen können:

$$\begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}\stackrel?=\begin{pmatrix}4\\0\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\quad\text{Widerspruch!}$$Das scheitert aber schon an der ersten Koordinate. Eine solche lineare Abblldung \(L\) kann es also nicht geben.

Comments

Danke schonmal, aber wie sieht das denn mit der Existenz aus? Muss ich das trotzdem noch beweisen?

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Eine lineare Abbildung muss additiv sein. Diese Additivität wird durch die 4 gegebenen Vektorpaare bereits verletzt. Es kann also keine solche lineare Abbildung geben. Damit ist deren Existzenz widerlegt.

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Okay, Dankeschön.

Answer 2

Du musst die 4 Elemente von R^4 auf lineare Unabhängigkeit prüfen.

Wenn sie lin.unabh. sind gibt es eine solche Abbildung.

Wenn sie lin. abh. sind drücke einen durch die anderen drei aus,

und schau ob der 4. festgelegte Wert dazu passt. Wenn nicht,

gibt es eine solche Abbildung nicht.

Kannst methodisch so vorgehen wie dort:

https://www.mathelounge.de/210691/entscheiden-lineare-abbildung-angegebenen-eigenschaften