Cholesky-Zerlegung reguläre Matrix

Question

Aufgabe:

Sei A = L^TL ∈ R^N×N mit regulärer Matrix L ∈ R^N×N . Zeigen Sie, dass A
eine spd-Matrix ist.

Problem/Ansatz: Worte können nicht beschreiben wie dankbar ich für Tipps/Lösung wäre :))

Answer 1

(1)  Es ist \(A^\top={(L^\top L)}^\top=L^\top{(L^\top)}^\top=L^\top L=A\), also \(A\) symmetrisch.

(2)  Wähle \(y\in\mathbb R^N\setminus\lbrace0\rbrace\) beliebig. Dann ist \(x:=Ly\ne0\) und es gilt$$y^\top Ay=y^\top(L^\top L)y=(Ly)^\top(Ly)=x^\top x>0,$$ also ist \(A\) positiv definit.