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Bei der \(h\)-Methode musst du den Grenzwert für \(h\to0\) vom Differenzenquotienten bilden:$$f'(x_0)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$Das Problem dabei ist das \(h\) im Nenner. Weil wir nicht durch \(0\) dividieren können, müssen wir den Bruch irgendwie so umformen, dass das \(h\) aus dem Nenner verschwindet. Wir schauen uns daher den Bruch genauer an:
$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{(2(x_0+h)^2-3)-(2x_0^2-3)}{h}=\frac{2(x_0+h)^2-2x_0^2}{h}$$Mit der ersten binomischen Formel rechnen wir den Zähler aus:$$=\frac{2(x_0^2+2x_0h+h^2)-2x_0^2}{h}=\frac{2x_0^2+4x_0h+2h^2-2x_0^2}{h}=\frac{4x_0h+2h^2}{h}$$$$=\frac{h(4x_0+2h)}{h}=4x_0+2h$$Oben konnten wir das \(h\) rauskürzen und finden:$$f'(x_0)=\lim\limits_{h\to0}(4x_0+2h)=4x_0\quad\implies\quad f'(2)=4\cdot2=8$$
