\( Z_{1}, Z_{2}, \ldots \) seien unabhängige \( U[-1,1] \) -verteilte Zufallsvariablen, \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) sei Folge positiver Zahlen mit \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=0, \lim \limits_{n \rightarrow \infty} n a_{n}=\infty \). Zeige, dass für das Dreieckschema
\( X_{n, j}=\frac{1}{a_{n}} I\left\{\left|Z_{j}\right| \leq a_{n}\right\}, j=1, \ldots, n, n \in \mathbb{N} \)
der Zentrale Grenzwertsatz gilt (Hinweis: Lyapunov-Bedingung für \( \delta=2 \) ). Zeige weiter, dass daher \( \sqrt{\frac{a_{n}}{n}} \sum \limits_{j=1}^{n}\left(X_{n, j}-1\right) \) in Verteilung gegen eine Standardnormalverteilung konvergiert.
