Question

Gibt es Ringe mit endlich vielen Elementen, die faktoriell , Hauptidealring oder euklidisch sind?
Liebe Grüße

Comments

Ja, gibt es.                       .

---

Was wäre ein Beispiel für ein Ring mit endlich vielen Elementen der mindestes einen der drei Eigenschaften
- faktoriell- hauptidealring- eukldisch
erfüllt ?
Liebe Grüße

---

Jeder endliche Körper zum Beispiel erfüllt sogar alle 3 Eigenschaften.

---

Danke sehr,

Könnten Sie mir Lehrbücher mit vielen Beispielen empfehlen?

In den meisten Lehrbüchern in denen ich bereits gesucht habe, werden viele Beispiele gegeben, die "Kanonen nach Spatzen schießen" sag ich mal.

Die Antwort ein Körper mit endlich vielen Elementen ist ein endlicher euklidischer Ring ist in der Tat korrekt.

Aber ich suche nach einem Beispiel, dass sich nur auf die Definition eines euklidischen Rings, Hauptidealrings oder faktorielle Rings beschränkt und nicht "noch mehr" Struktur hat.

Für mich ist deswegen Z/nZ , wenn n keine Primzahl ist ein gutes Beispiel für einen Hauptidealring mit endlich vielen Elementen, weil es nicht über noch mehr Struktur verfügt, als gefragt wurde.

---

Also das mit den Z/nZ nehme ich zurück, das sind ja keine Integrtätsbereiche folglich nach gängiger Definition auch keine Hauptidealringe (Aber in Z/nZ sind die Ideale dennoch immer Hauptideale!)

Endliche faktorielle Ringe die keine Körper sind gibt es glaube ich nicht.

---

https://commalg.subwiki.org/wiki/Unique_factorization_domain_that_is…

---

Ah, es geht sogar viel einfacher. Jeder endliche Integritätsbereich ist schon ein Körper.

Das findet sich z.B. in Lemma 13.6 + Beispiel 13.10 im Algebra Buch von Christian Karpfinger und Kurt Meyberg.

Für den Beweis betrachtet man für ein $a \in R \backslash \{0\}$ die Abbildung

$$\varphi_a : R \to R, x \mapsto a\cdot x$$

Diese ist injektiv, denn für $b, c \in R$ mit $\varphi_a(b) = \varphi_a(c)$ ist $$ab = ac \iff a(b-c) = 0 \iff b-c = 0 \iff b=c$$, da R eben nullteilerfrei ist. Wegen der Endlichkeit von R muss $\varphi_a$ deshalb aber auch schon surjektiv sein. Folglich existiert ein Element $x \in R$ mit $ax = 1$ und insbesondere ist somit $a \in R^*$ und da $a$ beliebig $R^* = R\backslash\{0\}$ was ja gerade bedeutet, dass R ein Körper ist.

Sorry für die Verwirrung!