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Aufgabe:

Ich möchte die nachfolgende homogene GDL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten berechnen:

y^(4)-y´´´+y´´-y´=0

Problem/Ansatz:

Leider steht im Skript kein Ansatz zur Berechnung einer solchen GDL.

Mein Ansatz wär zunächst folgendermaßen:


x^4-x^3+x^2-1=0

Nullstellen bestimmen: 1, -0,682

allgemeine Lösung: y(x)=exp((k^4-k^3+k^2)*x)-> fehlt hier die -1 oder nicht?

Wofür brauch ich jetzt die Nullstellen und wie kann ich weiter machen?

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1 Antwort

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Hallo,

y''''-y´´´+y´´-y´=0

->

charakteristische Gleichung:

k^4 -k^3 +k^2 -k=0

k(k^3 -k^2 +k -1)=0

k(k-1)(k^2+1)=0

k1=0

k2=1

k3,4= ± i

-->

\( y(x)=c_{1}+c_{2} \cos (x)+c_{3} \sin (x)+c_{4} e^{x} \)

Avatar von 121 k 🚀

vielen Dank, ich verstehe alles bis auf die letzte Zeile. Da habe ich leider nicht annähernd eine Ahnung wie man darauf kommt.

Ah ja ok das ergibt dann auch Sinn, vielen Dank.


Ich hätte noch eine letzte Frage, wenn mir die nachfolgende Gleichung gegeben ist:


y^(4)-4y´´´+15y´´-22y´+10y

Dann erhalte ich als charakteristisches Polynom

k^4-4k^3+15k^2-22k^1+10k^0 und demnach k^4-4k^3+15k^2-12k

mit k(k^3-4k^2+15k-12)=0

und somit

k1=0

k2=1

k3,k4=±i


Dann hätte ich ja wieder dasselbe Ergebnis wie oben, was mache ich falsch?

y^(4)-4y´´´+15y´´-22y´+10y=0

Dann erhalte ich als charakteristisches Polynom:

k^4-4k^3+15k^2-22k+10=0

(k-1)^2 (k^2-2k+10)=0

k1,2= 1

k3,4= 1± 3i

---->

\( y(x)=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{x} x+c_{3} e^{x} \cos (3 x)+c_{4} e^{x} \sin (3 x) \)

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