Wie kommt man von allg. Lösung auf spezielle Lösung (linearer Dgl 2. Ordnung, homogener Fall)? Verständnis fehlt.

Question

Ich weiß, dass es dazu Bücher und so weiter gibt, aber leider bekomme ich keine Antwort auf die Frage, wie man ALLGEMEIN auf die spezielle Lösung einer linearen Dgl 2. Ordnung (homogener Fall) kommt. Für einzelne Beispiele kann ich es - denke ich zumindest- halbwegs nachvollziehen. Aber ein "Rezept" wie und vor allem warum ich da vorgehe, fehlt mir.

Wenn ich zum Beispiel für die Dgl  x´´ + 2x = 0 die allgemeine Lösung x(t)= e^{0x} [C1*cos (√(2x) + C2* sin (√(2x)] heraushabe und nun mit den Bedingungen x(0)=0 und x´(0)=√2  die spezielle Lösung berechnen will, wie und warum gehe ich vor und was bedeutet das im einzelnen?

Answer 1

dafür gibt es Tabellen . z.B hier:

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

2. Seite, 1. Punkt, 3. Zeile, -> 2 konj kompl. Lösungen

Du leitest die Lösung einmal ab und setzt die AWB ein.

 1 .) x(0)=0: Einsetzen in die Lösung --->C₁=0

2.)x'(0)=(2):Einsetzen in die 1. Ableitung

x'(t)= √2( -C1 sin(√2) *t) + C2 cos(√2 )*t))

√2= √2 +C₂ ->C₂= 1

Lösung:

x= sin((√2)) *t)

Comments

Muss man für beide ableiten? ich dachte nur für die zweite Bedingung?

Wäre es möglich, dass ich die Lösung aufgeschrieben bekomme?

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siehe meine Rechnung:

Answer 2

Hallo Andurs, 

ich verstehe das so, dass du die allgemeine Lösung der Ausgangs-DGL (hier homogen) hast:

Dann hast du x(t)  und berechnest x'(t).

Dann setzt du die "Anfangsbedingungen"  x(0) = 0  und x'(0) = √2  einfach ein:

0 = x(0)   und   √2 = x'(0)

Dann hast du ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und den beiden Unbekannten  c₁ und c₂.

Das musst du lösen.

Einsetzen von c₁ und c₂  in die allgemeine Lösung ergibt dann deine gesuchte Einzellösung für das Ausgangswertproblem.

Gruß Wolfgang