Zeigen Sie, dass A-1 ganzzahlige Einträge besitzt.

Question

Aufgabe:

Sei A∈GL_n(ℚ) mit ganzzahligen Einträgen und det(A)∈{1,-1}. Zeigen Sie, dass A^-1 ganzzahlige Einträge besitzt.

Hat jemand eine Idee wie ich hier vorgehen könnte

Answer 1

Ist \(A\) invertierbar und ganzzahlig, so sind auch alle

(n-1)-reihigen Unterdeterminanten von \(A\) ganzzahlig.

Damit ist die Adjunkte \(A^{\#}\) von \(A\) ganzzahlig

und nach dem Adjunktensatz schließlich auch

\(A^{-1}=\det(A)^{-1}\cdot A^{\#}=\pm A^{\#}\).