Orthogonale Gruppe im Raum

Question

Aufgabe:

Die orthogonale Gruppe $O(n)$ ist durch

$$O(n):=\left\{A \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid A^{T} A=1_{n}\right\}$$

definiert. In U36(iii) haben wir gesehen, dass $O(n)$ eine Untergruppe von $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R})$ ist und für $A \in O(n)$ stets $|\operatorname{det}(A)|=1$ gilt.

(i) Wir betrachten den euklidischen Vektorraum $\mathbb{R}^{n}$ mit dem Standard-Skalarprodukt $\langle\cdot, \cdot\rangle .$ Zeigen Sie, dass für $A \in O(n)$ der Endomorphismus $f_{A}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, \quad x \mapsto$

$A x$ eine Isometrie bzgl. $\langle\cdot, \cdot\rangle$ ist, d.h., $\operatorname{dass}\langle A x, A y\rangle=\langle x, y\rangle$ für alle $x, y \in \mathbb{R}^{n}$ gilt.

(ii) Beweisen Sie, dass eine reelle $n \times n$ -Matrix $A$ genau dann orthogonal ist (d.h. ein Element von $O(n)$ ist), wenn die Zeilen von $A$ eine Orthonormalbasis des $\mathbb{R}^{n}$ bilden.

(iii) Beweisen Sie die Behauptung: Jedes Element $A \in O(2)$ ist entweder eine Drehung oder eine Spiegelung, d.h. es gibt $\theta \in[0,2 \pi),$ so dass $A=\left(\begin{array}{c}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)$
oder $A=\left(\begin{array}{ll}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta\end{array}\right)$ gilt.

Answer 1

Hallo,

für (i) kannst Du die Info

$$\forall x,y \in \mathbb{R}^n: \quad \langle x,Ay \rangle = \langle A^Tx,y \rangle$$

die Du in Deinem Skript findest - oder sonst eben durch direktes Ausrechnen beider Seiten nachweisen musst.

Für (ii) benenne die Spalten von A als $a_i$, dann rechnest Du nach, dass

$$(A^TA)_{i,j}= \langle a_i,a_j \rangle$$

Für (iii) setzt Du eine belibige Matrix

$$A=\begin{pmatrix} p&q\\r&s \end{pmatrix}$$

Die Bedingung $A^TA=I$ liefert dann ein Gleichungssystem. Dessen Lösungsmenge musst Du analysieren. Beachte dabei: Wenn die Gleichung $p^2+q^2=1$ gilt, dann ist $p \in [-1,1]$. Und das heißt: Es gibt ein $\theta$ mit $p=\cos(\theta)$...

Gruß