Seitenkante AS bei einer Pyramide in einem räumlichen Koordinatensystem?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die punkte A(5/6/1), B(2/6/1), C(0/2/1), D(3/2/1), S(2/4/5).

(A, B, C und D sind die Grundfläche einer Pyramide und S ist die Spitze)

A) bestimmen sie die Länge der Seitenkante AS

B) Bestimmen Sie die Koordinaten des Höhenfußpunktes F der Pyramide und berechnen Sie Höhe und Volumen der Pyramide.

Problem/Ansatz:

Was ist zu tun?

Answer 1

A) \vec{AS}= \( \begin{pmatrix} -3\\-2\\4 \end{pmatrix} \). Länge von \( \vec{a} \) ist \( \sqrt{(-3)^2+(-2)^2+4^2} \)=\( \sqrt{29} \).

B) \( \vec{AB} \)=\( \begin{pmatrix} -3\\0\\0 \end{pmatrix} \); \( \vec{BC} \)=\( \begin{pmatrix} -2\\-4\\0 \end{pmatrix} \); \( \vec{CD} \)=\( \begin{pmatrix} 3\\0\\0 \end{pmatrix} \);  \( \vec{DA} \)=\( \begin{pmatrix} 2\\4\\0 \end{pmatrix} \); daraus erkennt man: Die Grundfläche der Pyramide ist ein Rechteck. Der Höhenfußpunkt ist die Mitte von \( \vec{AC} \) nämlich (\( \frac{5-0}{2} \), \( \frac{6-2}{2} \), \( \frac{0-0}{2} \))=(2,5|2|0).

Comments

nur noch eine Frage, wie kann ich mit den punkten die Grundfläche der Pyramide berechnen, da ich diese noch brauch, um das Volumen aus zurechnen:

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Siehe Werner Salomon.

Answer 2

Hallo,

Für die Länge der Seite \(|AS|\) brauchst Du den Pythagoras \(|AS| = \sqrt{29}\) (s. Rolands Antwort). Die Pyramide sieht so aus:

Die Grundfläche ist ein Parallelogramm. Wenn Du die Seite \(AB\) mit \(|AB|=3\) als Grundseite des Parallelogramms auffasst, so kannst Du die zugehörige Höhe des Parallelogramms aus den Koordinaten ablesen. Die Höhe ist die Ausdehnung in Y-Richtung - also \(h=6-2=4\). Damit kommst Du auf ein Grundfläche \(G\) von$$G = |AB| \cdot h = 3 \cdot 4 = 12$$ Der Höhenfußpunkt \(F\) ist deshalb leicht zu bestimmen, weil alle Punkte der Grundfläche die Z-Koordinate \(z=1\) haben. Die Grundfläche liegt also in der Ebene \(z=1\). Für den Fußpunkt \(F\) muss man bei \(S\) lediglich die Z-Koordinate ändern$$S = \begin{pmatrix}2\\ 4\\ 5\end{pmatrix} \implies F = \begin{pmatrix}2\\ 4\\ 1\end{pmatrix}$$Die Höhe \(H\) der Pyramide ist somit \(H=5-1=4\) und das Volumen \(V\)$$V = \frac 13 H \cdot G = \frac 13 \cdot 4 \cdot 12 = 16$$(klick auf das Bild, dann öffnet sich Geoknecht3D. Rotiere die Szene mit der Maus so, dass Du von oben auf die Pyramide schaust. Dann siehst Du das Parallelogramm und kannst die Maße \(|AB|\) und \(h\) direkt ablesen)