Partielle Integration a) f(x) = x * (ln(x) )^2 in den Grenzen von 1 bis e

Question

Berechnen Sie die folgenden Integrale durch partielle Integration:

(a) \( \int \limits_{1}^{e} x(\ln x)^{2} d x \)

(b) \( \int \limits_{-1}^{1} e^{x}\left(x^{2}+2 x+1\right) d x \)

(c) \( \int \limits_{0}^{\pi / 2} \sin x \cdot \cos x d x \)

(d) \( \int \limits_{0}^{2 \pi} e^{x} \cos x d x \)

Bitte mit Rechenweg.

Answer 1

a) Ich mache hier nur mal das unbestimmte Integral. Wie man damit danach das bestimmte Integral ausrechnet solltest du wissen. Die Integrationskonstante C lasse ich auch weg. Bei Bedarf einfach anfügen. Ist aber für deine Aufgabe unnötig.

∫ (x·LN(x)^2) dx

= x^2/2 · LN(x)^2 - ∫ (x^2/2 · 2·LN(x)/x) dx

= x^2·LN(x)^2/2 - ∫ (x · LN(x)) dx

= x^2·LN(x)^2/2 - (x^2/2 · LN(x) - ∫ (x^2/2 · 1/x) dx)

= x^2·LN(x)^2/2 - (x^2/2·LN(x) - ∫ (x/2) dx)

= x^2·LN(x)^2/2 - (x^2/2·LN(x) - x^2/4)

= x^2·LN(x)^2/2 - x^2/2·LN(x) + x^2/4

= x^2·LN(x)^2/2 - x^2·LN(x)/2 + x^2/4

 

Comments

∫ (COS(x) · SIN(x)) dx = SIN(x) · SIN(x) - ∫ (SIN(x) · COS(x)) dx

2 · ∫ (COS(x) · SIN(x)) dx = SIN(x)^2

∫ (COS(x) · SIN(x)) dx = 1/2·SIN(x)^2

 

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∫ (e^x·(x^2 + 2·x + 1)) dx

= e^x·(x^2 + 2·x + 1) - ∫ (e^x·(2·x + 2)) dx

= e^x·(x^2 + 2·x + 1) - (e^x·(2·x + 2) - ∫ (e^x·2) dx)

= e^x·(x^2 + 2·x + 1) - ((e^x·(2·x + 2) - (e^x·2))

= e^x·(x^2 + 2·x + 1) - e^x·(2·x + 2) + e^x·2

= e^x·(x^2 + 1)

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∫ (e^x · COS(x)) dx

= e^x · COS(x) - ∫ (e^x · (- SIN(x))) dx

= e^x · COS(x) + ∫ (e^x · SIN(x)) dx

= e^x · COS(x) + e^x· SIN(x) - ∫ (e^x · COS(x)) dx

2 · ∫ (e^x · COS(x)) dx = e^x · COS(x) + e^x· SIN(x)

∫ (e^x · COS(x)) dx = 1/2·e^x·(SIN(x) + COS(x))

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Beachte: Im Bild ist das Quadrat bei a) an einem andern Ort. In der Überschrift werden möglicherweise Klammern weggefiltert.

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Bzw. bei mir ist die Klammerung eine andere. Ich habe es so hingeschrieben wie Derive es zur Verfügung stellt. Das liegt einfach daran, dass ich die Terme nur mit cut und paste übernehmen um den Arbeitsaufwand zu reduzieren.