Diskussion der Kurvenschar fa(x)=1/2x^4-ax^2 (a>0). Ortskurve der Tief- und der Wendepunkte

Question

Zu verständnis ^ bedeuet hoch bsp ^2 heisst ins quadrat die
Aufgabe: Gegeben ist die Kurvenschar fa(x)=1/2x^4-ax^2 (a>0)
a) Diskutieren sie die Kurvenschar allgemein.
b) Bestimmen Sie die Ortskurve der Tiefpunkte sowie die Ortskurve der Wendepunkte.

Comments

Wo genau ist dein Problem? Vielleicht hilft dir das ein wenig:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F2x%5E4-x%5E2+and+1%2F2x%5E4-2x%5E2+and+1%2F2x%5E4-3x%5E20

Das sind die Kurven für a = 1;2;3

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Ich weiß einfach nicht wie ich das alles rechnen muss wegen dem a in der gleichun.

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Geh mit dem a wie mit einer ganz normalen Zahl um. Wenn du nicht mehr weiterrechnen kannst, weil du für a eine Zahl brauchen würdest, z. B. bei √a, dann lass' diesen Term einfach so stehen.

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Ich weiß aber nicht wie ich das miz dem a machen muss generell das rechnen bei der kurvendiskussion ich komm damit einfach nicht klar auch wenn ich mir eine zahl vorstelle

Answer 1

Kurvenschar: fa(x) = 1/2·x^4 - a·x^2

 

Funktion und Ableitungen

 

fa(x) = 1/2·x^4 - a·x^2 mit a > 0

fa'(x) = 2·x^3 - 2·a·x

fa''(x) = 6·x^2 - 2·a

 

Symmetrie

 

Achsensymmetrie, da nur gerade Potenzen von x auftreten. Ich kann mich daher bei der Kurvendiskussion auf den positiven Bereich von x Beschränken.

 

Y-Achsenabschnitt

 

fa(0) = 0

 

Nullstellen fa(x) = 0

 

1/2·x^2·(x^2 - 2·a) = 0

x = 0 und x = ± √(2·a)

 

Verhalten im Unendlichen

 

lim (x → ∞) fa(x) = ∞

 

Extremstellen fa'(x) = 0

 

2·x^3 - 2·a·x = 0

2·x·(x^2 - a) = 0

x = 0 ∨ x = ± √a

 

fa(0) = 0 [Hochpunkt]

fa(± √a) = - a^2/2 [Tiefpunkte]

 

Wendestellen fa''(x) = 0

 

6·x^2 - 2·a = 0

x = ± √(a/3)

 

fa(± √(a/3)) = - 5/18·a^2 [Wendepunkte]

 

Ortskurve der Tiefpunkte

 

x = ± √a

a = x^2

 

fTP(x) = 1/2·x^4 - x^2·x^2 = - 1/2·x^4

 

Ortskurve der Wendepunkte

 

x = ± √(a/3)

a = 3·x^2

 

fWP(x) = 1/2·x^4 - 3·x^2·x^2 = - 5/2·x^4

 

Skizze

 

Comments

Vielen,   Habe jetzt verstanden wie ich das mit dem a zu rechnen habe. Ps: Dank der Lösung die hier ist, habe ich schon gleich einen fehler in meiner selbst gerechneten lösung gefunden. Ich muss nochmal sagen: DANKE

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wie kommt man bei der nulstellenberechnung denn auf 1/2·x²·(x² - 2·a) = 0? Ich versteh bloß nicht, wie die -2a in der lammer zustande kommen´?

Danke schonmal

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Die Funktion lautete

fa(x) = 1/2·x⁴ - a·x² mit a > 0

Hier kann man 1/2 * x^2 ausklammern. Machst du das mal. Als probe kann man das dann ausmultiplizieren und schauen ob der ursprüngliche Term dabei heraus kommt.