Kurvenschar: fa(x) = 1/2·x^4 - a·x^2
Funktion und Ableitungen
fa(x) = 1/2·x^4 - a·x^2 mit a > 0
fa'(x) = 2·x^3 - 2·a·x
fa''(x) = 6·x^2 - 2·a
Symmetrie
Achsensymmetrie, da nur gerade Potenzen von x auftreten. Ich kann mich daher bei der Kurvendiskussion auf den positiven Bereich von x Beschränken.
Y-Achsenabschnitt
fa(0) = 0
Nullstellen fa(x) = 0
1/2·x^2·(x^2 - 2·a) = 0
x = 0 und x = ± √(2·a)
Verhalten im Unendlichen
lim (x → ∞) fa(x) = ∞
Extremstellen fa'(x) = 0
2·x^3 - 2·a·x = 0
2·x·(x^2 - a) = 0
x = 0 ∨ x = ± √a
fa(0) = 0 [Hochpunkt]
fa(± √a) = - a^2/2 [Tiefpunkte]
Wendestellen fa''(x) = 0
6·x^2 - 2·a = 0
x = ± √(a/3)
fa(± √(a/3)) = - 5/18·a^2 [Wendepunkte]
Ortskurve der Tiefpunkte
x = ± √a
a = x^2
fTP(x) = 1/2·x^4 - x^2·x^2 = - 1/2·x^4
Ortskurve der Wendepunkte
x = ± √(a/3)
a = 3·x^2
fWP(x) = 1/2·x^4 - 3·x^2·x^2 = - 5/2·x^4
Skizze
