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Also, ich habe schonmal die erste und zweite Ableitung gebildet:

fa'(x) = 2*e^2x - a*e^x

fa''(x) = 4*e^2x - a*e^x

Danach habe ich den Wendepunkt berechnet:

fa''(x) = 0

4*e^2x - a*e^x = 0 |+a*e^x

4*e^2x = a*e^x 

So, hier weiß ich leider nicht weiter, wie ich die Gleichung lösen kann.

Bin sehr dankbar für alle Hilfen !

von

2 Antworten

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Hi,

kleiner Hinweis:

$$ 4e^{2x} - ae^x = e^x(4e^x-a) $$

Alternativ:

Dividiere auf beiden Seiten deiner letzten Gleichung durch \(e^x\). Dies ist eine Äquivalenzumformung, da \( e^x > 0 \) für alle reellen Zahlen \(x\) ist.

Gruß

von 24 k

aber ist e^x * 4*e^x nicht 4*e^{x^2} ?

"Fast" :D. Beachte die Potenzregeln.

$$ e^x \cdot 4e^x = 4 (e^x)^2 = 4e^{2x} $$

bzw.

$$ 4e^x \cdot e^x = 4e^{x+x} = 4e^{2x} $$

Achso ok dankeschön !

Komme aber auf beiden Wegen zu dem Ergebnis x = ln(a/4).

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Du brauchst noch die dritte Ableitung, denn die muss ja ungleich Null sein, damit es sich um einen Wendepunkt handelt:

$$f_a^{'''}(x) = 8 \ e^{2x}-a \ e^x$$

Jetzt deine Gleichung nach x umformen:

$$4 \cdot e^{2x}=a \cdot e^x \quad | \ : \ e^x \\ 4 \cdot e^x = a \\ e^x = \frac{a}{4} \\ x = ln \left( \frac{a}{4} \right) $$

Da das Argument vom ln() nicht 0 oder kleiner sein darf, muss a>0 gelten. Den Punkt in die dritte Ableitung einsetzen:

$$f_a^{'''} \left( ln \left( \frac{a}{4} \right) \right) = 8 \ e^{2 \ ln(a/4)}-a \ e^{ln(a/4)} \\ = 8 \ \left( \frac{a}{4} \right)^2 - a \ \frac{a}{4} = \frac{8a^2}{16} - \frac{4a^2}{16} = \frac{a^2}{4} > 0$$

da a>0.

Restliches Vorgehen bekannt oder brauchst du da auch Hilfe?

von 1,6 k
Super, danke! Das habe ich vergessen.Wie es weiter geht, weiß ich, aber bei mir kommt Mist raus.. Wäre lieb, wenn du mir das auch nochmal aufschreiben könntest.

Obwohl.. Ist das Ergebnis 2e^x - 8e^2x ?

Gern. Du kennst jetzt die x-Werte deiner Wendepunkt, für die y-Werte gilt: $$f_a(ln(a/4)) = e^{2 \ ln(a/4)} - a \ e^{ln(a/4)} \\ = \left( \frac{a}{4} \right)^2 - a \ \frac{a}{4} =  \frac{a^2}{16} - \frac{4 \ a^2}{16} = - \ \frac{3 \ a^2}{16} \ .$$

Jetzt musst du noch die Gleichung, die ich vorhin nach x aufgelöst habe, nach a umformen und hier einsetzen: $$x = ln(a/4) \\ \Rightarrow \ a = 4 \ e^x$$

$$\Rightarrow \quad y = - \ \frac{3 \ a^2}{16} = - \ \frac{3 \ (4 \ e^x)^2}{16} \\ = - \ \frac{48 \ e^{2x}}{16} = - 3 e^{2x} \ .$$

Vielen vielen Dank ! Ich habe meinen Fehler gefunden.

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