Vielleicht so: \( f = X^3 + 4X + 1 \) ist irreduzibel über Q (zeigen!). Jedes Polynom 3. Grades hat mindestens eine reelle Nullstelle (folgt aus Analysis).
Sei also \( \alpha \in \mathbb R \) eine reelle Nullstelle von \( f \), dann ist
$$ \Phi ~:~ \mathbb{Q}[X]/(f) \to \mathbb{Q}(\alpha),\quad \overline{aX^2+bX+c} \mapsto a \alpha^2 + b \alpha + c $$
ein Isomorphismus (entweder ist das klar oder man rechnet es halt schnell nach...)
Das Minimalpolynom von \( \alpha \) über \( Q \) ist \( f \).
Wenn \( \mathbb Q(\alpha) \) normal wäre, dann würde das MiPo von \( \alpha \) aber in \( \mathbb Q(\alpha) \subseteq \mathbb R \) zerfallen. Zeige, dass das nicht geht, indem du die Existenz komplexer Nullstellen nachweist.
