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Gegeben: \(t\in\mathbb N\) ist Teiler von \(n,m\in\mathbb N\). Das heißt \(\frac{n}{t}\in\mathbb N\) und \(\frac{m}{t}\in\mathbb N\).
Zu zeigen: \(t\) ist Teiler von \((n-1)\cdot m+n\)
Wir brauchen nur zu zeigen, dass die Division von \((n-1)\cdot m+n\) durch \(t\) eine natürliche Zahl ist:
$$\frac{(n-1)\cdot m+n}{t}=\frac{(n-1)\cdot m}{t}+\frac{n}{t}=\underbrace{(n-1)}_{\in\mathbb N_0}\cdot\underbrace{\frac{m}{t}}_{\in\mathbb N}+\underbrace{\frac{n}{t}}_{\in\mathbb N}\in\mathbb N\quad\checkmark$$\(\frac{m}{t}\) und \(\frac{n}{t}\) sind nach Voraussetzung natürliche Zahlen. \((n-1)\) ist eine natürliche Zahl oder null, weil \(n\in\mathbb N\) ist. Da Produkt und Summe zweier natürlicher Zahlen wieder natürliche Zahlen sind, ist der gesamte obige Ausdruck aus \(\mathbb N\).
Daher teilt \(t\) auch \((n-1)\cdot m+n\).
