Anhand eines Beispiels begründen, dass linear unabhängig ist

Question

Begründen Sie anhand eines Beispiels, dass folgende Aussage nicht wahr ist: Seien $V, W$ jeweils $\mathbb{F}$ -Vektorräume und $f \in \mathcal{L}(V, W)$ surjektiv. Sind $v_{1}, \ldots, v_{n} \in V$ linear unabhängig, dann auch $f\left(v_{1}\right), \ldots, f\left(v_{n}\right) \in W$.

Kann mir jemand ein Beispiel nennen? Mir fällt leider irgendwie überhaupt keins Beispiel ein...

Answer 1

$\dim V > 0$ und $f(v) = 0$ für alle $v\in V$.

Comments

danke für die schnelle Antwort :)

Können Sie ihre Antwort evtl noch etwas begründen? Warum muss dim V > 0 sein?

---

Sind $v_{1}, \ldots, v_{n} \in V$ linear unabhängig

Das geht nicht, wenn $dim V = 0$ ist, weil dann $V = \{0\}$ ist.

dann auch $f\left(v_{1}\right), \ldots, f\left(v_{n}\right) \in W$

ex falso quodlibet

---

dankeschön :)

wir sollen jetzt noch ergänzen, dass die Aussage aus wahr wird, wenn man zusätzlich dim V = dim W fordert. Haben Sie dazu auch einen Lösungsvorschlag?