Aloha :)
Der Konvergenzradius \(r\) von \(p(x)=\sum_k a_k\cdot x^k\) ist \(r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|\). Wir vereinfachen zuerst den Bruch und bilden am Ende den Grenzwert:
$$\frac{a_k}{a_{k+1}}=\frac{\frac{2^k}{k^3}}{\frac{2^{k+1}}{(k+1)^3}}=\frac{2^k}{k^3}\cdot\frac{(k+1)^3}{2^{k+1}}=\frac{2^k}{2^{k+1}}\cdot\frac{(k+1)^3}{k^3}=\frac{2^k}{2^k\cdot2}\cdot\left(\frac{k+1}{k}\right)^3$$$$\phantom{\frac{a_k}{a_{k+1}}}=\frac{1}{2}\cdot\left(1+\frac{1}{k}\right)^3\stackrel{(k\to\infty)}{\to}\frac{1}{2}$$
Der Konvergenzradius ist also \(r=\frac{1}{2}\).
