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Aufgabe:

Zeigen für k≥2:

 \( \sum\limits_{n=2}^{k}{2/n^2 -1} \)  = 1 + \( \frac{1}{2} \) - \( \frac{1}{k} \) - \( \frac{1}{k+1} \)


Problem/Ansatz:

Ich bin leider nicht so gut mit Beweisen oder Induktionen, ich weiß zwar, dass man mit IA: n=0 anfängt, aber ich mache immer Fehler. Wie genau muss man das lösen?

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Warum hast du in der Überschrift "Kombinatorik"?

Das sieht nach Bruchrechnung aus.

Was genau behandelt und übt ihr?

1 Antwort

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Hallo vovi,

wenn Du induktiv Beweisen möchtest, dann beweist Du im allgemeinen die Aussage für den "Startwert" und zeigst dann, dass aus der Richtigkeit der Formel für einen bestimmten Wert auch die Richtigkeit für diesen bestimmten Wert + 1 folgt. Dann kannst Du nämlich, wenn die Formel für den Startwert stimmt und sie auch jeweils für den nächstgrößeren Wert gilt, schlussfolgern, dass sie für alle Werte stimmt.

Deine Formel hängt von k ab. Das heißt, Du beweist in Abhängigkeit von k. So wie Deine Aufgabe gegeben ist, ist der Startwert k0 = 2.

Dafür stimmt aber, wenn ich nicht gerade vollkommen daneben liege, Deine Formel nicht (2/4 - 1 = -1/2 und 1 + 1/2 - 1/2 - 1/3 = 2/3). Schau noch einmal genau in die Aufgabenstellung, ob Du eventuell etwas falsch abgetippt hast.

Ansonsten würdest Du folgendermaßen vorgehen (k0 ist Startwert):

1. Schreibe \( \sum\limits_{n=2}^{k_0}{2/n^2 -1} \) aus und berechne die Summe

2. Schreibe 1 + \( \frac{1}{2} \) - \( \frac{1}{k_0} \) - \( \frac{1}{k_0+1} \) aus und berechne

3. Sind die beiden Werte gleich, dann ist die Formel offenbar für den Startwert richtig.

Jetzt der Beweis von k-1 zu k:

4. Prüfe, ob die Aussage auch für k gilt, indem Du die rechte Seite der oben angegebenen Gleichung für

\( \sum\limits_{n=2}^{k-1}{2/n^2 -1} \)

in

\( \sum\limits_{n=2}^{k}{2/n^2 -1} \) = \( \sum\limits_{n=2}^{k-1}{2/n^2 -1} \) + 1/k2 - 1

einsetzt und die Terme dann so "massierst", dass 1 + \( \frac{1}{2} \) - \( \frac{1}{k} \) - \( \frac{1}{k+1} \) rauskommt.

Alternativ kannst Du auch von k zu k+1 beweisen:

Prüfe, ob die Aussage auch für k+1 gilt, indem Du die rechte Seite der oben angegebenen Gleichung für

\( \sum\limits_{n=2}^{k}{2/n^2 -1} \)

in

\( \sum\limits_{n=2}^{k+1}{2/n^2 -1} \) = \( \sum\limits_{n=2}^{k}{2/n^2 -1} \) + 1/(k+1)2 - 1

einsetzt und die Terme dann so "massierst", dass 1 + \( \frac{1}{2} \) - \( \frac{1}{k+1} \) - \( \frac{1}{k+2} \) rauskommt.

Liebe Grüße

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Vielleicht sollte die erste Frage an vovi sein, ob es vielleicht um den Summanden

$$\frac{2}{n^2-1} \text{  oder } \frac{2}{n^2}-1$$

geht

Hallo, vielen Dank für deine ausführliche Antwort!

Ich habe bei den Schritten 1 und 2 jeweils 2/3 rausbekommen, also das stimmt dann wohl schon mal?


Jetzt hänge ich aber bei den Beweisen bei Schritt 4., ich weiß nie wie ich da die Formeln umformen muss, damit ich auf das gewünschte Ergebnis komme


Dafür stimmt aber, wenn ich nicht gerade vollkommen daneben liege, Deine Formel nicht (2/4 - 1 = -1/2 und 1 + 1/2 - 1/2 - 1/3 = 2/3). Schau noch einmal genau in die Aufgabenstellung, ob Du eventuell etwas falsch abgetippt hast.

Also ich habe es richtig abgetippt, kann dann also sein, dass die Aufgabe vom Prof falsch getippt wurde

Hallo vovi,

so, wie Du Deine Formel geschrieben hast, wird 2 nur durch n2 geteilt und anschließend 1 abgezogen (siehe Mathepeter). Das ist hier nicht richtig. Es muss 2/(n2 - 1) lauten.

Wenn Du die Variante nimmst, von (k-1) zu k zu beweisen, dann kannst Du mal den Term 1/(k-1) mit (k+1) erweitern und 2/(k²-1) als 2/((k+1)*(k-1)) schreiben.

Falls Du nicht hinkommst, melde Dich einfach noch einmal.

Danke für deine Hilfe, ich habe es mal versucht, aber ich komme einfach nicht weiter :/ bzw. ich weiß nicht wie ich da weiter vorgehen soll

\( \sum\limits_{n=2}^{k}{2/(n^2 -1)} \) = \( \sum\limits_{n=2}^{k-1}{2/(n^2 -1)} \) + 2/(k2 - 1)

= 1 + 1/2 - 1/(k - 1) - 1/k + 2/(k2 - 1)

= 1 + 1/2 - (k + 1)/((k - 1)*(k + 1)) - 1/k + 2/((k + 1)*(k - 1))

= 1 + 1/2 - k/((k - 1)*(k + 1)) - 1/k + 1/((k + 1)*(k - 1))

= 1 + 1/2 - (k - 1)/((k - 1)*(k + 1)) - 1/k

= 1 + 1/2 - 1/k - 1/(k+1)

fertig

Vielen Dank für deine Hilfe!

Wie genau wusstest du, dass man das so Umformen muss? Ich komme nie auf so eine Lösung bei Umformungen..

Hallo vovi, mit der Zeit bekommt man ein Gefühl dafür, wie man die Terme umformen muss, um ein bestimmtes "Ziel" zu erreichen. Einfach dranbleiben und weiterüben! Außerdem wird es mit der Zeit einfacher, weil Du feststellen wirst, dass es (zumindest z.B. bei Übungsserien im Studium) doch irgendwie immer ähnliche Vorgehensweisen/Umformungen sind. Liebe Grüße

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