Zeigen sie direkt ( also ohne Induktion ), dass n^3 -n für alle ganzen Zahlen n durch 3 teilbar ist .Ist es auch …

Question

Aufgabe: Zeigen sie direkt ( also ohne Induktion ), dass n^3 -n für alle ganzen Zahlen n durch 3 teilbar ist .Ist es auch durch 6 teilbar ?

Problem/Ansatz:

Soweit bin ich gekommen :

P(n) = n * (n^2 *-1) =  n * (n-1) *( n+1)  =  ( n-1) * n * (n+1)

P(n) ist also ein Produkt aus drei 3 ganzen Zahlen .

Da mindestens einer dieser Zahlen gerade ist muss P(n) schonmal durch 2 teilbar sein .

Aber wie genau zeige ich, dass P(n) auch durch 3 und 6 teilbar ist .

Ich bin für jede Hilfe dankbar .

Comments

Vielleicht ist mindestens eine der Zahlen durch 3 teilbar?

Answer 1

n^3 - n = n·(n^2 - 1) = n·(n + 1)·(n - 1)

Eine von 3 aufeinandervolgenden Zahlen ist durch 3 teilbar.

Mind. eine von 3 aufeinandervolgenden Zahlen ist durch 2 teilbar.

Daher ist n^3 - n durch 3 und durch 2 also auch durch 6 teilbar.

Answer 2

P(n) ist also ein Produkt aus drei 3 ganzen Zahlen .

P(n) ist sogar ein Produkt aus drei 3 aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen.

Angenommen n-1 und n sind nicht durch 3 teilbar. ...