Eigenvektor bestimmen - Vorzeichen

Question

Es sollen Eigenwert und Eigenvektor von der Matrix

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \)

bestimmt werden.

Die Eigenwerte habe ich schon bestimmt :

x1=-1, x2=3

Der Eigenvektor von X1=-1 lautet nach meinen Rechnungen nach : (1,-2)

Laut Musterlösung sollen es (-1,2) sein.

Weiß einer wieso mein Eigenvektor andere Vorzeichen besitzt ?

[Es handelt sich bei meiner Aufgabe ursprünglich um ein DGL System-->Spielt dort, wenn beide Eigenvektoren richtig sind, das Vorzeichen eine Rolle ?]

Answer 1

Aloha :)

Deine Eingewerte sind korrekt. Der Eigenvektor ist nicht eindeutig. Wenn du dir die Eigenwert-Gleichung anschaust, wird klar warum:$$A\cdot\vec x=\lambda\cdot \vec x\quad\Longleftrightarrow\quad A\cdot(a\vec x)=\lambda\cdot(a\vec x)$$Der Eigenvektor \(\vec x\) ist nur bis auf einen konstanten Faktor \(a\ne0\) bestimmt. Wenn du deinen Eigenvektor mit \((-1)\) multiplizierst, erhältst du denjenigen aus der Musterlösung. Passt also alles!

Auch zur Lösung der DGL spielt dieser Faktor keine Rolle, weil du ja eh die Linearkombination aller Lösungen bildest.

Answer 2

Weil beide eine Basis des Eigenraumes abgeben. Du darfst auch einen Eigenvektor wie (-2,4) hernehmen - weil Ax=λx gelten soll also auch λ vielfache des EV...