Skalarprodukt. Beweisen dass: (u-v)^2 - (u +3v)^2=-32, wenn u und v orthogonal und |u|=1, |v|=2.

Question

vektor u und vektor v sind 2 orthogonale Vektoren deren "Längen" 1 und 2 sind. beweise dass: (u-v)^2 - (u +3v)^2=-32

Answer 1

Definition Skalarprodukt siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt

$$ |\vec{u}|=1=\sqrt{\vec{u}\cdot \vec{u}} $$ $$ |\vec{v}|=2=\sqrt{\vec{v}\cdot \vec{v}}$$
$$ (\vec{u}-\vec{v})^2-(\vec{u}+3\vec{v})^2=(\vec{u}-\vec{v}) \cdot(\vec{u}-\vec{v})-(\vec{u}+3\vec{v})\cdot(\vec{u}+3\vec{v})\\=(\vec{u}\cdot \vec{u}-2(\vec{u}\cdot \vec{v})+\vec{v}\cdot \vec{v})-(\vec{u}\cdot \vec{u}+6(\vec{u}\cdot \vec{v})+3\vec{v}\cdot 3\vec{v})\\=(1^2-2*(0)+2^2)-(1^2+6(*0)+9 *2^2)=5-37=-32 $$
$$\vec{u}\cdot \vec{u}=1^2$$
$$\vec{v}\cdot \vec{v}=2^2$$
$$\vec{u}\cdot \vec{v}=0=\vec{v}\cdot \vec{u}$$

Beispiel siehe hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28%7B0%2C1%7D-%7B2%2C0%7D%29.%28%7B0%2C1%7D-%7B2%2C0%7D%29%29-%28%28%7B0%2C1%7D%2B3*%7B2%2C0%7D%29.%28%7B0%2C1%7D%2B3*%7B2%2C0%7D%29%29