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habe ein kleines Proble. Meine Aufgabe lautet:

Ein Kreis, dessen Mittelpunkt auf der y-Achse liegt, berührt die Parabel y=x^2/4 im Punkt T (wurzel aus 32/8.

a) Berechne die Fläche zwischen Kreis und Parabel sowie deren Tangente.

Leider habe ich keine Ahnung wie ich auf die Kreisgleichung komme.....


Wäre froh wenn mir jemand helfen könnte.


Liebe Grüße
von

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Allgemeine Kreisgleichung:

( x - xm)2 + ( y - ym) 2 = r 2

wobei xm und ym die Koordinaten des Mittelpunktes des Kreise und r dessen Radius ist. Da der Kreis auf der y-Achse liegt, ist xm = 0, sodass sich dei G
Kreisgleichung auf

x 2 + ( y - ym) 2 = r 2

vereinfacht.

Da der Kreis den Punkt T ( √ 32 | 8 ) enthalten soll, muss gelten:

32 + ( 8 - ym ) 2 = r 2

<=>  ( 8 - ym ) 2 = r 2 - 32

Außerdem müssen an der Stelle x = √32 die Steigungen der Parabel und des Kreises übereinstimmen, da sie sich dort berühren sollen. Es müssen also die Ableitungen beider Funktionen gleich sein, also:

Kreis:

c + ( y - ym) 2 = r 2

<=>  ( y - ym) 2 = r 2 -  x 2

<=> y - ym =  √ ( r 2 - x 2 )

<=> y = √ ( r 2 - x 2 ) + ym

Ableitung:

y ' = - 2 x /  2  √ ( r 2 - x 2 )

=  x / √ ( r 2 - x 2 )

Parabel:

y ' = x / 2

Gleichsetzen:

x / 2 =  x / √ ( r 2 - x 2 )

Die Gleichheit muss für x = √ 32 gegeben sein, also einsetzen:

√ ( 32 ) / 2 = √ ( 32 ) / √ ( r 2 - 32 )

<=> 1 / 2 = 1 / √ ( r 2 - 32 )

<=> √ ( r 2 - 32 ) =  2

<=> r 2 - 32 = 4

<=> r 2 = 36

<=> r = ± √ 36 = ± 6

Somit lautet die Kreisgleichung nun (siehe oben):

( 8 - ym ) 2 = r 2 - 32

=> ( 8 - ym ) 2 = 36 - 32 = 4

Auflösen nach ym:

<=> 8 - ym = 2

<=> ym = 8 + 2

<=> ym = 10

Der Kreismittelpunkt M hat also die Koordianten:

M = ( 0 | 10 )

Die entsprechende Kreisgleichung ist also:

x 2 + ( y - 10 ) 2 = 36

Den "Rest" schaffst du nun selbst?

von 32 k
Werde es auf jeden fall einmal selber probiern :) falls ich nicht schaffe melde ich mich nocheinmal :))


gglg
Hi :)
wie kommst  beim umformen auf <=> 1 / 2 = 1 / √ ( r 2 - 32 )?

glg
Indem ich beide Seiten der Gleichung durch √ 32 dividiere.
Schaff es  leider nicht die fläche und die tangente zu berechnen....
Gl

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