Ein Kreis, dessen Mittelpunkt auf der y-Achse liegt, berührt die Parabel y?x2/4 im Punkt T (wurzel aus 32/8)

Question

habe ein kleines Proble. Meine Aufgabe lautet:

Ein Kreis, dessen Mittelpunkt auf der y-Achse liegt, berührt die Parabel y=x^2/4 im Punkt T (wurzel aus 32/8.

a) Berechne die Fläche zwischen Kreis und Parabel sowie deren Tangente.

Leider habe ich keine Ahnung wie ich auf die Kreisgleichung komme.....


Wäre froh wenn mir jemand helfen könnte.


Liebe Grüße

Answer 1

Allgemeine Kreisgleichung:

( x - x_m)² + ( y - y_m) ² = r ²

wobei x_m und y_m die Koordinaten des Mittelpunktes des Kreise und r dessen Radius ist. Da der Kreis auf der y-Achse liegt, ist x_m = 0, sodass sich dei G
Kreisgleichung auf

x ² + ( y - y_m) ² = r ²

vereinfacht.

Da der Kreis den Punkt T ( √ 32 | 8 ) enthalten soll, muss gelten:

32 + ( 8 - y_m ) ² = r ²

<=>  ( 8 - y_m ) ² = r ² - 32

Außerdem müssen an der Stelle x = √32 die Steigungen der Parabel und des Kreises übereinstimmen, da sie sich dort berühren sollen. Es müssen also die Ableitungen beider Funktionen gleich sein, also:

Kreis:

^c + ( y - y_m) ² = r ²

<=>  ( y - y_m) ² = r ² -  x ²

<=> y - y_m =  √ ( r ² - x ² )

<=> y = √ ( r ² - x ² ) + y_m

Ableitung:

y ' = - 2 x /  2  √ ( r ² - x ² )

=  x / √ ( r ² - x ² )

Parabel:

y ' = x / 2

Gleichsetzen:

x / 2 =  x / √ ( r ² - x ² )

Die Gleichheit muss für x = √ 32 gegeben sein, also einsetzen:

√ ( 32 ) / 2 = √ ( 32 ) / √ ( r ² - 32 )

<=> 1 / 2 = 1 / √ ( r ² - 32 )

<=> √ ( r ² - 32 ) =  2

<=> r ² - 32 = 4

<=> r ² = 36

<=> r = ± √ 36 = ± 6

Somit lautet die Kreisgleichung nun (siehe oben):

( 8 - y_m ) ² = r ² - 32

=> ( 8 - y_m ) ² = 36 - 32 = 4

Auflösen nach y_m:

<=> 8 - y_m = 2

<=> y_m = 8 + 2

<=> y_m = 10

Der Kreismittelpunkt M hat also die Koordianten:

M = ( 0 | 10 )

Die entsprechende Kreisgleichung ist also:

x ² + ( y - 10 ) ² = 36

Den "Rest" schaffst du nun selbst?

Comments

Werde es auf jeden fall einmal selber probiern :) falls ich nicht schaffe melde ich mich nocheinmal :))


gglg

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Hi :)
wie kommst  beim umformen auf <=> 1 / 2 = 1 / √ ( r 2 - 32 )?

glg

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Indem ich beide Seiten der Gleichung durch √ 32 dividiere.

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Schaff es  leider nicht die fläche und die tangente zu berechnen....
Gl

Answer 2

Ein Kreis, dessen Mittelpunkt auf der y-Achse liegt, berührt die Parabel $y=\frac{1}{4}x^2$ im Punkt T $(\sqrt{32}|8 )$ .

Berechnung der Tangente an die Parabel:   $y=\frac{1}{4}x^2$   in T  $(\sqrt{32}|8 )$ →T $(4\sqrt{2}|8 )$

$y'=\frac{1}{2}x$

$y'(4\sqrt{2})=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

$\frac{y-8}{x-4\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$

$y=2\sqrt{2}(x-4\sqrt{2})+8=2\sqrt{2}x-8$

Berechnung der Normalen in  T $(4\sqrt{2}|8 )$:

Die Normalensteigung beträgt $m_N=-\frac{1}{2\sqrt{2}}=-\frac{1}{4}\sqrt{2}$

$\frac{y-8}{x-4\sqrt{2}}=-\frac{1}{4}\sqrt{2}$

Schnitt mit der y-Achse ergibt den y-Wert des Kreismittelpunkts:

$\frac{y-8}{0-4\sqrt{2}}=-\frac{1}{4}\sqrt{2}$

$y=10$:

M$(0|10)$

Kreisgleichung:

$x^2+(y-10)^2=r^2$       T $(4\sqrt{2}|\red {8} )$  liegt auf diesem Kreis:

$(4\sqrt{2})^2+(8-10)^2=r^2$

$r^2=36$

Kreisgleichung:

$x^2+(y-10)^2=36$

Berechne die Fläche zwischen Kreis und Parabel sowie deren Tangente.

Weg zu den Flächenberechnungen:

A_1 ist das Rechteck mit  $a= 4\sqrt{2}$ und  $b=8$

$A_1=32\sqrt{2}$ FE

Fläche unter Parabel:

$A_2=\int\limits_{0}^{4\sqrt{2}}\frac{1}{4}x^2dx=\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{4\sqrt{2}}x^2dx$

Differenzfläche:

$A_3=A_1-A_2$ FE

Hiervon muss dann noch der halbe Kreisabschnitt unter $y=8$ abgezogen werden.

Dazu kommt am Ende die Fläche zwischen der Tangente und der Parabel.