3.49) Wie kann ich das berechnen?

Question

Für welche k ∈ ℝ hat die Gleichung x²-kx+1=0 genau zwei reelle Lösungen, genau eine reelle Lösung bzw. keine Lösung?

Lösung:x²-kx+1=0

          x=k/2±√k²/4-1 =k/2 ±1/2•√k²-4

Wie kommt man hier von

x=k/2±√k²/4-1 auf

k/2 ±1/2•√k²-4?

Answer 1

Wie kommt man hier von x=k/2±√k²/4-1 auf k/2 ±1/2•√k²-4?

Bruchrechenregeln und Wurzelgesetzte.

        \(\begin{aligned} & \frac{k}{2}\pm\sqrt{\frac{k^{2}}{4}-1}\\ =\, & \frac{k}{2}\pm\sqrt{\frac{k^{2}}{4}-\frac{4}{4}}\\ =\, & \frac{k}{2}\pm\sqrt{\frac{k^{2}-4}{4}}\\ =\, & \frac{k}{2}\pm\frac{\sqrt{k^{2}-4}}{\sqrt{4}}\\ =\, & \frac{k}{2}\pm\frac{\sqrt{k^{2}-4}}{2}\\ =\, & \frac{k}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{k^{2}-4} \end{aligned}\)

Answer 2

4/4=1

Eine Lösung für |k|=2

Keine Lösung für |k|<2

Zwei Lösungen für |k|>2

Answer 3

Diskriminante >0 setzen:

(k/2)^2-1 >0

k^2/4 >1

k^2 > 4

|k| > 2

k>2 v k <-2

Answer 4

Das x=k/2±√k²/4-1 =k/2 ±1/2•√k²-4 muss heißen x_1/2=k/2±√(k²/4-1) oder x_1/2 =k/2 ±1/2•√(k²-4). Um von der ersten Darstellung zur zweiten zu kommen, wurde unter der Wurzel zunächst 1/4 ausgeklammert und dann teilweise die Wurzel (nur aus 1/4) gezogen.√(k²/4-1)=√(1/4·(k²-4))=1/2·√(k²-4).