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Hallochen.

Ich muss diese Aussage beweisen:

\( \sum\limits_{k=0}^{n} \) (\( \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \)) = \( \begin{pmatrix} 2n\\n \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht dies mit der vollständigen Induktion zu beweisen, und habe sogar Induktionsanfang gemacht!:)

Aber mit dem Induktionsschluss komme ich nicht klar

von

1 Antwort

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

Ich würde hier gar nicht groß rumrechnen, sondern mit der Bedeutung des Binomialkoeffizienten argumentieren.

Wir gehen von der rechten Seite aus. \(\binom{2n}{n}\) ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus \(2n\) Objekten genau \(n\) auszuwählen. Wir teilen die \(2n\) Objekte in 2 gleich große Gruppen mit jeweils \(n\) Objekten auf. Dann können wir aus der ersten Gruppe \(k\) Objekte auswählen. Dafür gibt es \(\binom{n}{k}\) Möglichkeiten. Aus der zweiten Gruppe müssen dann die noch fehlenden \((n-k)\) Objekte gewählt werden. Dafür gibt es \(\binom{n}{n-k}\) Möglichkeiten. Da wir noch die Freiheit haben, aus der ersten Gruppe \(k=0\), \(k=1\), \(k=2\), ... oder \(k=n\) Objekte auszuwählen, gilt:$$\binom{2n}{n}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot\binom{n}{n-k}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot\binom{n}{k}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}^2$$

von 62 k 🚀

Danke Sehr! Das war viel einfacher als ich dachte:)

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