Aufgabe:
Aufgabe \( \left.28 \text { (Rechnen im Restklassenring von } \mathbb{F}_{2}[X]\right) . \) Es sei \( K:=\mathbb{F}_{2}[X] /\left(X^{3}+X^{2}+1\right) \)
(a) Geben Sie die Standardtransversale von \( K \) an.
(b) Ist \( K \) ein Körper? Ist \( \mathbb{F}_{2}[X] /\left(X^{6}+X^{2}+1\right) \) ein Körper? Begründen Sie.
(c) Es seien \( f, g \in \mathbb{F}_{2}[X] \) gegeben durch \( f=X^{2}+X \) und \( g=X^{2}+X+1 . \) Berechnen Sie \( [f]+[g],[f] \cdot[g] \)
$$ [f]^{-1} \text { und }\left[g^{7}\right] \text { in } K $$
Aufgabe 29 (Invertierbarkeit im Restklassenring von \( K[X] \) ).
(a) Es sei ein Körper \( K \) gegeben. Zeigen Sie:
(i) Für alle \( n \in \mathbb{N} \) mit \( n \geq 2 \) ist \( X^{n} \equiv x^{2}-x-1(n-1) X+1 \) in \( K[X] \)
(ii) Für alle \( n \in \mathbb{N} \) ist \( \left[X^{n}\right] \) invertierbar in \( K[X] /\left(X^{2}-X-1\right) \)
(b) Bestimmen Sie den Standardrepräsentanten von \( \left[X^{5}-2 X^{4}+3 X^{3}+X^{2}-1\right] \) in \( \mathbb{Q}[X] /\left(X^{2}-X-1\right) \)
(c) Ist \( \mathbb{F}_{3}[X] /\left(X^{2}-X-1\right) \) ein Körper? Ist \( \mathbb{F}_{5}[X] /\left(X^{2}-X-1\right) \) ein Körper? Begründen Sie.
(d) Wie viele Elemente hat \( \mathbb{F}_{3}[X] /\left(X^{2}-X-1\right) ? \) Wie viele Elemente hat \( \mathbb{F}_{5}[X] /\left(X^{2}-X-1\right) ? \)
Problem:
Ich schreibe demnächst eine Klausur und haben einen Übungszettel zum Lernen erhalten von dem ich grandioser Weise die Lösungen nicht mehr habe. Damals hab ich das alles noch nachvollziehen können und verstanden, doch nun bin ich etwas verwirrt. Ich habe gefühlt alles vergessen was mit Restklassenringen zu tun hat und Probleme mit diesen beiden Aufgaben. Könnte mir jemand eventuell dabei helfen und zusätzlich den Lösungsweg so gut wie möglich erklären? Ich will es ja schließlich verstehen.
