Wie komme ich hier voran?

Question

Aufgabe:

Der Graph einer ganz rationalen Funktion (4. Grades) verläuft achsensymmetrisch zur y-Achse und durch den Koordinatenursprung.

Die y-Koordinate der Wendepunkte beträgt Zweizweineuntel. Die Maßzahl des vom Graphen mit der x-Achse im ersten Quadranten eingeschlossenen Flächenstücks beträgt Achtachtfünfzehntel.

Problem/Ansatz:

Wie komme ich hier voran?

Answer 1

Der Graph einer ganz rationalen Funktion (4. Grades) verläuft achsensymmetrisch zur y-Achse und durch den Koordinatenursprung.

Daraus folgt

f(x)=ax^4+cx^2

Die y-Koordinate der Wendepunkte beträgt Zweizweineuntel.

Also y_W=20/9.

f'(x)=4ax^3+2cx

f''(x)=12ax^2+2c → gleich Null setzen

x^2=-c/(6a) in f(x) einsetzen.

20/9 = a*c^2/(36a^2)-c^2/(6a)= c^2/(36a)-c^2/6a=-5/36 *c^2/a

c^2=-16a bzw. a=-c^2/16

Die Maßzahl des vom Graphen mit der x-Achse im ersten Quadranten eingeschlossenen Flächenstücks beträgt Achtachtfünfzehntel.

Wir brauchen also die positive Nullstelle.

f(x)=ax^4+cx^2=0

ax^2=-c

-c^2/16 *x^2 =-c

x^2=16/c

x_N=+√(16/c)

Eine Stammfunktion:

F(x)=-c^2/16 *x^5/5 + cx^3/3

Integral von Null bis zur positiven Nullstelle:

F(x_N)=128/15

128/15=-c^2/16 *x_N^5/5 + cx_N^3/3   |*15

128 = -3c^2/16*xN^5+5cxN^3

128=( -3c^2/16*(16/c)^2+5c*(16/c))*√(16/c)

128=(-48+80)*√(16/c)

4=√(16/c)

c=1

a=-1/16

f(x)=-1/16 *x^4 + x^2

:-)