Aloha :)
Nein, hier braucht es keine Additionstheoreme. Es reicht zu wissen, dass die Sinus-Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist und die Cosinus-Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist:$$\sin(-x)=-\sin(x)\quad;\quad\cos(-x)=\cos(x)$$
Dann sollte man noch wissen, wo die "co"-Funktionen ihren Namen her haben. Sie heißen so, weil man im rechtwinkligen Dreieck damit zum complementären Winkel übergeht, also dem anderen Nicht-90-Grad-Winkel:$$\sin\left(x\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$$$\cos\left(x\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$$$\tan\left(x\right)=\cot\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$$$\cot\left(x\right)=\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$
Damit ist dann:$$\sin(x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\right)=\sin(\pi-x)$$$$\phantom{\sin(x)}=-\sin(x-\pi)$$
