Erzeugendensystem der Menge M bestimmen

Question

Win betrachten in Abhängigkeit von \( b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4} \in \mathbb{R} \) das folgende Gleichungssystem:

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & -4 & 0 \\  2 & -4 & 3 & -6 & 1 \\ 3 & -6 & 3 & -6 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} b1\\b2\\b3\\ b4 \end{pmatrix}$$

a) Bestimmen Sie für \( \left(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}\right)=(1,2,3,4) \) die Lösungsmenge des Gleichungssystems über \( \mathbb{R} \).
b) Zeiren Sie dass die Menge \( W \) der Vektoren \( b=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}\right)^{t} \in \mathbb{R}^{4}, \) für die obiges Glei-
von \( W \) an.

Es geht mir um den Teil bei der B, bei der man ein Erzeugersystem von b aufstellen soll. Da die Menge W aus R4 ist, brauche ich vier linear unabhängige Vektoren um dies darstellen zu können, aber in der Matrix selbst sind nur 3 Vektoren von den 5 die linear unabhängig sind, was übersehe ich ?

Comments

Gerade gesehen das bei Teil b etwas fehlt :

...für obiges Gleichungssystem ein Lösung hat und geben die Das erzeugersystem vom W an

Answer 1

Aloha :)

Die Matrix hat tatsächlich nur 3 linear unabhängige Spaltenvektoren. Diese sind zwar nicht eindeutig, aber ich komme auf:

$$\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\begin{pmatrix}0\\1\\3\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$$Das Bild der Matrix hat also die Dimension 3. Wenn du nun ein Erzeugendensystem mit 4 Vektoren brauchst, kannst du den fehlenden 4-ten Vektor einfach als eine Linearkombination der 3 Basisvektoren bestimmen, z.B.$$\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}$$

Der Unterschied zwischen einem Erzeugendensystem und einer Basis ist ja gerade, dass in einer Basis die Vektoren nicht mehr linear abhängig sein dürfen, in einem Erzeugendensystem dürfen sie das aber sein.

Comments

Die drei Vektoren stellen das Bild der Matrix da, oder?

Es gibt ja unterschiedliche Verfahren um das Bild auszurechnen, wodurch auch unterschiedliche Ergebnisse entstehen oder verstehe ich da was falsch?

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Alles richtig.

Die Basis des Bildes besteht aus 3 Vektoren.

Die Basisvektoren sind nicht eindeutig bestimmt, nur die Anzahl der Basisvektoren ist festgelegt. Du kannst also andere Basisvektoren haben als ich.

Ein Erzeugendensystem muss mindestens so viele Vektoren haben wie die Basis. Es kann aber auch mehr Vektoren enthalten, die dann allerdings immer linear voneinander abhängen.