Explizit definierte Folge auf Konvergenz prüfen mit Häufungspunkte und Grenzwert

Question

Gegeben ist die explizit definierte Folge (b_n) mit n ∈ ℕ

       $\sqrt[3]{n^2}$ falls n gerade

b_n =

       $\frac{n^3}{2n^3*(-1)^n}$ falls n ungerade

Nun soll auf konvergenz geprüft werden und falls vorhanden Grenzwert/Häufungspunkte angegeben werden.

Problem/Ansatz:

Leider bin ich mir mit meinem Ergebnis total unsicher. Ich bedanke mich für jegliche Hilfe wie Ich diese Aufgabe richtig lösen kann.

Answer 1

Aloha :)

$$b_n=\left\{\begin{array}{rl}\sqrt[3]{n^2} & \text{falls \(n\) gerade}\\\frac{n^3}{2n^3\cdot(-1)^n} & \text{falls \(n\) ungerade}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{rl}n^{2/3} & \text{falls \(n\) gerade}\\-\frac{1}{2} & \text{falls \(n\) ungerade}\end{array}\right\}$$Im ungeraden Fall ist $(-1)^n$ immer gleich $(-1)$ und man kann $n^3$ aus Zähler und Nenner rauskürzen. Im geraden Fall konvergiert $n^{2/3}$ gegen $\infty$. Die Folge hat daher einen Häufungspunkt bei $-\frac{1}{2}$, aber keinen Grenzwert.

Comments

Top! Mein Ergebnis war ähnlich. Danke dir!