Wieso erhält man den Vorfaktor bei der Erstellung einer Quotientenfunktion?

Question

Wenn ich die Änderungsrate einer Exponentialfunktion berechne, also zum Beispiel von f(x) = 3^x :

g(x) = \( \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \) (mit h gegen 0)

und dann eine Quotientenfunktion erstelle, also:

h(x) = \( \frac{g(x)}{f(x)} \)

dann erhalte ich den Vorfaktor der abgeleiteten Funktion f´(x) = 1,1 * 3^x (In diesem Fall also ~ 1,1)

Aber wieso ist das so? Wieso kommt hier der Vorfaktor raus?

Answer 1

Aloha :)

Die Ableitung einer Exponentialfunktion lautet:$$f(x)=a^x\quad\implies\quad f'(x)=\ln(a)\cdot a^x$$In deinem Fall ist der Vorfaktor also \(\ln(3)\approx1,098612\).

Du kannst dir das wie folgt überlegen:

$$\left(a^x\right)'=\lim\limits_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{a^x\left(a^h-1\right)}{h}=a^x\lim\limits_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}$$

Im Zähler kannst du nun ausnutzen, dass sich die \(e\)-Funktion und die \(\ln\)-Funktion gegenseitig aufheben:$$a^h=e^{\ln(a^h)}=e^{h\ln(a)}$$und für kleine Exponenten gilt die Näherung \(e^x\approx1+x\), wobei diese Näherung immer genauer wird, je näher \(x\) bei \(0\) liegt. Daher ist:$$a^h=e^{h\ln(a)}=1+h\ln(a)\quad\text{für }h\ll1$$

Setzt du das oben in den Grenzwert ein, bekommst du:

$$\left(a^x\right)'=a^x\lim\limits_{h\to0}\frac{(1+h\ln(a))-1}{h}=a^x\lim\limits_{h\to0}\frac{h\ln(a)}{h}=a^x\lim\limits_{h\to0}\ln(a)=a^x\,\ln(a)$$