Bestimmen Sie die – Koordinate des Punktes =(;3;5) derart, sodass dieser in der Ebene liegt.

Question

Aufgabe

Eine Ebene verlaufe senkrecht zum Vektor (5;2;1) und enthalte den Punkt =(1;2;3).

Bestimmen Sie die X – Koordinate des Punktes B =( X ;3; 5 ) derart, sodass dieser in der Ebene liegt.

Answer 1

Hallo,

alle Punkte \(\vec x\), die in der Ebene liege, die durch einen Punkt \(\vec p\) und einen Normalenvektor \(\vec n\) gegeben ist, lassen sich in der Normalenform der Ebenen beschreiben:$$E: \quad \vec n \vec x = \vec n \vec p \\ E: \quad \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 1\end{pmatrix} \vec x= \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix} = 5+ 2\cdot 2 + 1 \cdot 3 = 12$$Setze nun für \(\vec x\) den Punkt \(B\) ein, der auch in \(E\) liegen soll:$$\begin{aligned}\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\ 3\\ 5\end{pmatrix} &= 12 \\ 5x + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 5 &= 12 \\ 5x &= 12 -6 - 5 \\ 5x &= 1 \\ \implies x &= \frac 15\end{aligned}$$

oben siehst Du das ganze nochmal graphisch. Die Gerade beschreibt die möglichen Punkte für \(B(x)\)

Answer 2

Ebenengleichung aufstellen

E: 5·x + 2·y + z = 12

Hier den Punkt einsetzen und auflösen.

5·x + 2·3 + 5 = 12 --> x = 0.2