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Aufgabe:


c) lim⁑xβ†’01βˆ’2x2xβˆ’4x \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-2^{x}}{2^{x}-4^{x}} \quad

d)  lim⁑nβ†’βˆž(n+1)!nn \lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1) !}{n^{n}}

e) lim⁑xβ†’01βˆ’2βˆ’x1βˆ’2x \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-2^{-x}}{1-2^{x}} \quad

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d) lim n β†’ unendlich

Habs angepasst.

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Hallo, bei c) und e) hast du den Fall "0/0" s unbestimmten Ausdruck vorliegen. Verwende also L'Hospital.

d) kannst du mal folgendermaßen umschreiben:

0≀(n+1)!nn=(n+1)β‹…n!nn=(n+1)β‹…nβ‹…(nβˆ’1)β‹…(nβˆ’2)β‹…...β‹…3β‹…2β‹…1nβ‹…nβ‹…nβ‹…...β‹…nβ‹…nβ‹…n=nβ‹…nβ‹…(nβˆ’1)β‹…(nβˆ’2)β‹…...β‹…3β‹…2β‹…1nβ‹…nβ‹…nβ‹…...β‹…nβ‹…nβ‹…n+1β‹…nβ‹…(nβˆ’1)β‹…(nβˆ’2)β‹…...β‹…3β‹…2β‹…1nβ‹…nβ‹…nβ‹…...β‹…nβ‹…nβ‹…n=nβ‹…nnβ‹…nβˆ’1nβ‹…nβˆ’2nβ‹…...β‹…3nβ‹…2nβ‹…1n+1β‹…nnβ‹…nβˆ’1nβ‹…nβˆ’2nβ‹…...β‹…3nβ‹…2nβ‹…1n=nβ‹…1β‹…nβˆ’1nβ‹…nβˆ’2nβ‹…...β‹…3nβŸβ‰€1β‹…2nβ‹…1n+1β‹…1β‹…nβˆ’1nβ‹…nβˆ’2nβ‹…...β‹…3nβ‹…2nβŸβ‰€1β‹…1n≀nβ‹…2nβ‹…1n+1n=3n⟢nβ†’βˆž00\leq \frac{(n+1)!}{n^n}=(n+1)\cdot \frac{n!}{n^n}=(n+1)\cdot \frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot...\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{n\cdot n\cdot n\cdot...\cdot n\cdot n\cdot n}\\=n\cdot \frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot...\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{n\cdot n\cdot n\cdot...\cdot n\cdot n\cdot n}+1\cdot \frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot...\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{n\cdot n\cdot n\cdot...\cdot n\cdot n\cdot n}\\=n\cdot \frac{n}{n}\cdot \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-2}{n}\cdot...\cdot \frac{3}{n}\cdot \frac{2}{n}\cdot \frac{1}{n}\\\quad +1\cdot \frac{n}{n}\cdot \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-2}{n}\cdot...\cdot \frac{3}{n}\cdot \frac{2}{n}\cdot \frac{1}{n}\\=n\cdot 1\cdot \underbrace{\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-2}{n}\cdot...\cdot \frac{3}{n}}_{\leq 1}\cdot \frac{2}{n}\cdot \frac{1}{n}\\\quad +1\cdot 1\cdot \underbrace{\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-2}{n}\cdot...\cdot \frac{3}{n}\cdot \frac{2}{n}}_{\leq 1}\cdot \frac{1}{n}\\\leq n\cdot \frac{2}{n}\cdot \frac{1}{n}+\frac{1}{n}=\frac{3}{n} \stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow} 0

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Ich habe schon mit 0/0 aber geht nicht kΓΆnnen Sie bitte die auch machen bitte

Was sind deine Rechnungen? Dann kann ich dir besser helfen.

Ich will Foto machen fΓΌr meine LΓΆsung wie kann man das machen??

Das Foto kannst bei Grafik hochladen (unten) reinstellen.

lim⁑xβ†’01βˆ’2βˆ’x1βˆ’2x=lim⁑xβ†’0βˆ’2xln⁑(βˆ’2)2xβ‹…ln⁑(2) \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-2^{-x}}{1-2^{x}}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{-2^{x} \ln (-2)}{2^{x} \cdot \ln (2)}

Nein. Es gilt (1βˆ’2βˆ’x)β€²=(1+(βˆ’1)β‹…2βˆ’x)β€²=(βˆ’1)β‹…ln⁑(2)β‹…2βˆ’xβ‹…(βˆ’1)=ln⁑(2)β‹…2βˆ’x(1-2^{-x})'=(1+(-1)\cdot 2^{-x})'\\=(-1)\cdot \ln(2)\cdot 2^{-x}\cdot (-1)=\ln(2)\cdot 2^{-x} und

(1βˆ’2x)β€²=(1+(βˆ’1)β‹…2x)β€²=(βˆ’1)β‹…ln⁑(2)β‹…2x=βˆ’ln⁑(2)β‹…2x(1-2^x)'=(1+(-1)\cdot 2^x)'=(-1)\cdot \ln(2)\cdot 2^x=-\ln(2)\cdot 2^x

Also lim⁑xβ†’01βˆ’2βˆ’x1βˆ’2x=Lβ€²Hlim⁑xβ†’0ln⁑(2)β‹…2βˆ’xβˆ’ln⁑(2)β‹…2x=lim⁑xβ†’0βˆ’1β‹…2βˆ’2x=βˆ’1\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-2^{-x}}{1-2^{x}}\stackrel{L'H}{=}\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(2)\cdot 2^{-x}}{-\ln(2)\cdot 2^x}=\lim\limits_{x\to 0} -1\cdot 2^{-2x}=-1

Aha und bei c auch so ?

Ja, im Prinzip dasselbe machen.

Hallo, bei c) und e) hast du den Fall "0/0" s unbestimmten Ausdruck vorliegen. Verwende also L'Hospital.

Das ist die NotlΓΆsung fΓΌr Leute, die es nicht besser kΓΆnnen.

Klammere bei c) 2x im Nenner aus und kΓΌrze dann den Bruch.

2x(12xβˆ’1)2x(1βˆ’4x2x)=0βˆ’11βˆ’0=βˆ’1 \frac{2^{x}\left(\frac{1}{2 x}-1\right)}{2^{x}\left(1-\frac{4^{x}}{2^{x}}\right)}=\frac{0-1}{1-0}=-1

Autsch.

Google "ausklammern" oder besuche eine zur Hochschulreife fΓΌhrende Lehreinrichtung.

Klammere bei c) 2x im Nenner aus und kΓΌrze dann den Bruch.


Nachdem du inzwischen deinen Kommentar verschlimmbessert hast:

Google das Wort "Nenner" (und ΓΌberlege dann, was 4x2x \frac{4^x}{2^x} in einer vereinfachten Schreibweise ergibt und warum das entgegen deiner Meinung NICHT gegen 0 geht).

KΓΆnnen Sie bitte das lΓΆsen????

Klammere bei c) 2^x im Nenner aus und kΓΌrze dann den Bruch.

Klammere es NUR IM NENNER aus.

KΓΌrze dann den Bruch.

Übrigens gilt axbx \frac{a^x}{b^x} =(ab)x (\frac{a}{b} )^x

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