Zeigen Sie, dass f genau dann stetig ist, wenn f+ und f− stetig sind.

Question

Für eine Funktion f : D → R mit D ⊂ R seien die Funktionen f⁺, f⁻ : D → R definiert durch

$f^{+}(x):=\left\{\begin{array}{ll} f(x), & \text { falls } f(x) \geq 0 \\ 0, & \text { falls } f(x)<0 \end{array}\right.$
und
$f^{-}(x):=\left\{\begin{array}{ll} -f(x), & \text { falls } f(x) \leq 0 \\ 0, & \text { falls } f(x)>0 \end{array} .\right.$

Zeigen Sie, dass f genau dann stetig ist, wenn f⁺ und f⁻ stetig sind.

Ich kann ja f = f⁺ − f⁻ und |f| = f⁺ + f⁻ benutzen.

Comments

  ich versuche es einmal :

  " Zeigen Sie, dass f genau dann stetig ist, wenn f⁺ und f⁻ stetig sind."

  f⁺  ist dann als stetig anzusehen wenn
  f⁺ ( 0 ) = 0 und
  lim f⁺ -> 0 ( von rechts ) = 0

  für f^- gilt dasselbe.

  Beide Teilfunktionen sind dann stetig und kommen ím
Punkt 0 zusammen. Also ist die Gesamtfunktion f auch stetig.

  mfg Georg
 

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Beginne mit einer Skizze von f+ und f- zur gegebenen blauen Funktion f.

Da g(0) = 0 bestimmt als stetig vorausgesetzt werden kann, sind die Nullstellen von f(x) die Stellen, in denen du begründen musst, dass der links- und der rechtsseitige Grenzwert gleich sind. (also beide 0).

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@Lu,

    du hast die Gegebenheiten schon besser erkannt als ich, aber meiner
Meinung nach auch noch nicht richtig.

  Für die Funktion f^{-} ( x ) gilt ( in Worten ) : falls die Funktion unterhalb von
0 ist gilt f^{-} ( x ) = -f ( x ).

  Deine rote Kurve zeigt  jedoch f^{-} ( x ) = f ( x ).. Deine Rote Kurve müßte
an der x-Achse nach oben gespiegelt werden.

  mfg Georg

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f^- (x) :=0 , f(x)>0.

liest man: Der Funktionswert ist definiert als 0, falls f(x)>0.

f^- (x):=-f(x), f(x) <0.

heisst, dass diese Stücke der roten Kurve noch gespiegelt werden müssen. Richtig!

Das kann ich einfach nicht so gut zeichnen: Spiegelung beeinflusst die Stetigkeit neben den Nullstellen sicher nicht.

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vielleicht kann man ja folgendermaßen argumentieren :

Gegeben ist die Funktion f ( x ).

Davon abgeleitet eine 2.Funktion f^{+} ( x ) für die gilt
f^{+} ( x )  = f ( x ) für f ( x ) ≥ 0 und
f^{+} = 0 für f ( x ) < 0

 Falls  f^{+} ( x ) stetig ist, dieser Fall soll in der Aufgabenstellung
untersucht werden, ist f ( x ) für f ( x ) ≥ 0 ebenfalls stetig.

  Dasselbe gilt für f^{-} ( x ). Hier kommt allerdings das Schmankerl
mit der Spiegelung an der x-Achse hinzu, welches aber keine Rolle
spielt.

  f ( x ) ist also oberhalb und unterhalb der x-Achse stetig.

  mfg Georg

  Die Aufgabe ist ziemlich verdreht und hat keinen  sittlichen
Nährwert.

Answer 1

Kann mir jemand zeigen/beweisen warum das gilt?

f = f⁺ − f^- und |f| = f⁺ + f^-