Endomorphismus und Eigenvektor

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum und φ : V → V ein Endomorphismus, für den jeder Vektor $$ 0\neq v ∈ V $$ ein Eigenvektor ist. Zeigen Sie, dass dann
φ = λ · IdV
für ein λ ∈ K gelten muss.

Answer 1

Seien \(v,w\) linear unabhängig. Nach Voraussetzung sind beide Vektoren

Eigenvektoren von \(\varphi\), etwa

\(\varphi(v)=\kappa\cdot v\) und \(\varphi(w)=\mu\cdot w\).

Dann gilt \(\varphi(v+w)=\kappa\cdot v+\mu \cdot w\). Andererseits

ist auch \(v+w\) ein Eigenvektor, es gibt also \(\lambda\) mit

\(\varphi(v+w)=\lambda \cdot (v+w)=\lambda\cdot v+\lambda\cdot w\).

Wegen \(\varphi(v+w)=\varphi(v)+\varphi(w)\) ergibt sich dann

\(\lambda = \kappa = \mu\). Die Vektoren sind also Eigenvektoren zum

selben Eigenwert \(\lambda\). Ist daher \(\{v_1,\cdots,v_n\}\) eine Basis

von \(V\), so gilt \(\varphi(v_i)=\lambda\cdot v_i\) für \(i=1,\cdots,n\),

also die Behauptung.