Grenzwert der Folge xn= Wurzel(n)* (Wurzel(n+1)-Wurzel(n)) beweisen?

Question

Gegeben ist die rellwertige Folge xn= Wurzel(n)* ( Wurzel(n+1) - Wurzel(n) ) n€N. Man soll die Folge auf Konvergenz untersuchen. Da bekomm ich den Wert 0,5 heraus. Aber wie kann man das beweisen?

Answer 1

√n·(√(n + 1) - √n)
= √n·√(n + 1) - √n·√n

= √(n^2 + n) - n

= √(n^2*(1 + 1/n)) - n

= n·√(1 + 1/n) - n

= n·(√(1 + 1/n) - 1)

= (√(1 + 1/n) - 1) / (1/n)

L'Hospital

= - √((n + 1)/n)/(2·n·(n + 1)) / (- 1/n^2)

= 1/(2·√((n + 1)/n))

= 1/2

Comments

Die Herleitung ist nicht besonders geschickt und kann auch vereinfacht werden. Ich hatte nur mal runtergeschrieben wie ich es machen würde.

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Bei mir taucht unten noch

√((n + 1)/n)

= √(1 + 1/n)

1/n geht gegen Null und damit der Term gegen 1.