Bestimmen einer Basis des orthogonalen Untervektorraums

Question

die Aufgabe die ich lösen möchte ist folgende:

Es sei V:= ℝ⁴ mit dem Standardskalarprodukt versehen und es sei U der von den Vektoren

(2,1,0,3) , (4,2,1,-1) und (1,0,2,-13)

erzeugte Untervektorraum von V. Bestimme eine Basis des zu U ortogonalen Untervektorraums

U^⊥:= { v ∈ V | v⊥u  ∀ u ∈ U}

 

kann mir bitte einer dabei helfen. Dankeschön

Comments

Kann mir keiner einen Tipp geben? ich verstehe das nicht so wirklich

---

 auch ich sitze an der Aufgabe und weis nicht wie man so etwas berechnet. Könnte mir bitte jemand dabei helfen? ich wäre sehr dankbar!

Answer 1

$$\text{Sei }u=(w,x,y,z)^T\in U^\bot.\text{ Dann gilt}$$$$\langle (2,1,0,3)^T,u\rangle=\langle(4,2,1,-1)^T,u\rangle=\langle(1,0,2,-13)^T,u\rangle=0.$$$$\text{D.h. }\begin{pmatrix}2&1&0&3\\4&2&1&-1\\1&0&2&-13\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}w\\x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.$$$$\text{Die Lösung ist }u=(c,c,-7c,c)^T,c\in\mathbb R.$$$$\text{Daher ist }U^\top=\text{Span}\{(1,1,-7,-1)^T\}.$$