Aloha :)
Du musst hier den Grenzwert des Differenzenquotienten für \(x\to x_0\) bestimmen:$$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$Das Doofe daran ist, dass bei der Grenzwertbildung der Nenner zu Null wird und wir durch Null ja nicht dividieren dürfen. Also muss der Bruch so umgeformt werden, dass der Nenner gekürzt werden kann.
Die erste Aufgabe funktioniert dann etwa so:
$$f'(2)=\lim\limits_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim\limits_{x\to2}\frac{\frac{2}{x}-\frac{2}{2}}{x-2}=\lim\limits_{x\to2}\frac{\frac{2}{x}-1}{x-2}=\lim\limits_{x\to2}\frac{\frac{2}{x}-\frac{x}{x}}{x-2}=\lim\limits_{x\to2}\frac{\frac{2-x}{x}}{x-2}$$$$\phantom{f'(2)}=\lim\limits_{x\to2}\frac{x\cdot\frac{2-x}{x}}{x\cdot(x-2)}=\lim\limits_{x\to2}\frac{2-x}{x\cdot(x-2)}=\lim\limits_{x\to2}\left(-\frac{x-2}{x\cdot(x-2)}\right)$$$$\phantom{f'(2)}=\lim\limits_{x\to2}\left(-\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{2}$$
Bei der zweiten könnte das so aussehen:
$$f'(-2)=\lim\limits_{x\to-2}\frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}=\lim\limits_{x\to-2}\frac{(-x^2-2)-(-(-2)^2-2)}{x+2}=\lim\limits_{x\to-2}\frac{-x^2+4}{x+2}$$$$\phantom{f'(-2)}=\lim\limits_{x\to-2}\left(-\frac{x^2-4}{x+2}\right)=\lim\limits_{x\to-2}\left(-\frac{(x+2)(x-2)}{x+2}\right)=\lim\limits_{x\to-2}\left(-(x-2)\right)=4$$
