∫(1+2x)e-x =? Lösen Sie unbestimmtes Integral mithilfe des Substitutionsregel

Question

Lösen Sie folgende unbestimmte Integral :

∫(1+2x)e^-x =?

Problem/Ansatz:

Erklären Sie bitte ausführlich wie man genau diese Aufgabe löst und welche Formeln / Regeln muss man hier anwenden ?

Answer 1

Hallo,

Lösung mittels partielle Integration

allgemein: ∫ u' v dx= u v-∫ u v' dx

Setze: v= 1+2x und u' =e^(-x)

u= -e^(-x)            v= 1+2x

u'=e^(-x)             v'=2

= - e^(-x) (1+2x) - ∫ -e^(-x) *2 dx

= - e^(-x) (1+2x) +2 ∫ e^(-x) dx

= - e^(-x) (1+2x) -2 e^(-x) +C

= - e^(-x) (3+2x) +C

Answer 2

Mit Substitution hätte ich da keine Idee, aber partielle Integration geht doch

nach der Regel  ∫f*g' = f*g - ∫f'*g

mit f = 1+2x hast du f ' = 2 und mit g ' = e^-x hast du g = -e^-x also

 ∫(1+2x)e^-x = (1+2x)(-e^-x) - ∫2(-e^-x)

          =  (1+2x)(-e^-x) +2 ∫e^-x

          =  (-1-2x)(e^-x) -2(e^-x) + C

          = (-3-2x)*e^-x + C