Eine Funktion mit zwei verschiedenen Stammfunktionen?

Question

Gesucht ist das folgende Integral:

\( \int \limits_{3}^{4} \frac{1}{6 x} d x \)

Jetzt könnte man ja die Stammfunktion einmal mithilfe der Kettenregel folgendermaßen ermitteln:

\( F(x)=\left[\ln (6 x) \cdot \frac{1}{6}\right] \)

und dann das Integral durch Einsetzen entsprechend ausrechnen.

Meine Frage: Das oben angegebene Integral kann aber doch auch mit Hilfe von bekannten Rechenregeln folgednermaßen umgeformt werden, oder nicht?

\( \int \limits_{3}^{4} \frac{1}{6 x} d x<=>\int \limits_{3}^{4} \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x} d x<=>\frac{1}{6} \cdot \int \limits_{3}^{4} \frac{1}{x} \)

Die Stammfunktion wäre:

\( F(x)=\frac{1}{6} \cdot[\ln (x)] \)

Jetzt hätte ich aber (unter dem Vorwand das die mathematische Umformung korrekt ist) zwei verschiedene Stammfunktionen für die gleiche Ausgangsfunktion. Es würden bei beiden auch unterschiedliche Ergebnisse rauskommen.

So und jetzt zu meinen Fragen:

1.) Kann das sein? Oder ist irgendwo ein logischer Fehler?

2.) Was ist richtig?

Answer 1

Zwei Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich höchstens in der Integrationskonstanten. Daher muss eine deiner beiden Stammfunktionen falsch sein - und das ist die erste.

Führ doch bitte mal vor, wie du das berechnet hast, dann kann man sicher einen Fehler finden.

Die zweite Integration hingegen ist korrekt.

Comments

Hallo JotEs,

meine Denkweise ist folgende:

Die Ableitung der gefundenen Stammfunktion muss ja wieder die Funktion sein, die im Ausgangsintegral steht.

Also für den ersten Fall:

\( F(x)=(\ln 6 x) \cdot \frac{1}{6} \)
\( F^{\prime}(x)=\frac{1}{6 x} \cdot 6 \cdot \frac{1}{6}<=>\frac{1}{6 x} \)

(mittels der Kettenregel für die Ableitung)

und für den zweiten Fall:

\( F(x)=\frac{1}{6} \cdot(\ln (x)) \)
\( F^{\prime}(x)=\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x} \quad<=>\frac{1}{6 x} \)

Die Stammfunktion wäre also in beiden Fällem abgeleitet die ursprüngliche Funktion, welche unter dem Integralzeichen steht.

---

Ich bin beim Rechnen von verschiedenen Aufgaben auch schon an
diesen scheinbaren Widerspruch gekommen, der sich aber erklären läßt.

[ ln ( x ) ] ´ =  1 / x
[ ln ( 6 * x ) ] ´ = 1 / x

  Wie dies ? Es bedeutet das die Funktionen  ln ( x )  und ln ( 6 * x )  dieselbe
Steigungsfunktion ( 1.Ableitung ) haben und sich nur im y-Achsenabschnitt
unterscheiden

  Integration ( 1 / x ) = ln ( x ) + C

  C = 1 : ln ( x ) + 1 = ln ( 1 * x )
  C = 6 : ln ( x ) + 6 = ln ( 6 * x )

  Das Ganze ist zugegeben reichlich tückisch, ich hatte es aber schon ein paar mal.

  mftg Georg

---

Vielleicht war ich ein wenig zu voreilig :-)

Tatsächlich sind sowohl

F ( x ) = ln ( 6 x ) / 6

als auch

F ( x ) = ln ( x ) / 6

Stammfunktionen von f ( x ) = 1 / ( 6 x )

Das liegt daran, dass gilt:

ln ( 6 x ) / 6 = ( ln ( 6 ) + ln ( x ) ) / 6 = ln ( x ) / 6 + C  mit C = ln ( 6 ) / 6

Also unterscheidet sich

ln ( 6 x ) / 6

von

ln ( x ) / 6

nur durch die Integrationskonstante.
Somit sind beides Stammfunktionen von f ( x ) = 1 / ( 6 x ) .

Die Integrationskonstante ist in ln ( 6 x ) / 6 recht gut versteckt - und ich bin voll darauf hereingefallen... :-( .

Eine sehr schöne Frage!

---

um noch weiters in der Überschrift klarzustellen

" Eine Funktion mit zwei verschiedenen Stammfunktionen ? "

Jede Funktion hat, durch die Integrationskonstante, unendlich
viele Stammfunktionen

  mfg Georg