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Aufgabe:

Ich habe folgende Formel

Σ<bn+1,ai><ai,ak>

Diese kann ich zu <bn+1,ak> umschreiben.

Jetzt ist meine Frage, wieso?


(i,k,n+1 sind Indizes)

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Das hängt wahrscheinlich mit den Eigenschaften der \(a_i\) zusammen, vielleicht kannst Du uns die mitteilen.

Gruß

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Aloha :)

Die Vektoren \(\vec a_i\) bilden hier ein vollständiges Orthonormalsystem (VONS), das heißt, sie haben alle die Länge \(1\) und stehen paarweise senkrecht zueinander. Formal gilt:$$\left<\vec a_i\,|\,\vec a_k\right>=\delta_{ik}=\left\{\begin{array}{c}1 &\text{falls}& i=k\\0 &\text{falls}&i\ne k\end{array}\right.$$

Damit wird dann aus deiner Summe:

$$\sum\limits_i\left<\vec b\,|\,\vec a_i\right>\left<\vec a_i\,|\,\vec a_k\right>=\sum\limits_i\left<\vec b\,|\,\vec a_i\right>\delta_{ik}=\sum\limits_{i\ne k}\left<\vec b\,|\,\vec a_i\right>\underbrace{\delta_{ik}}_{=0}+\left<\vec b\,|\,\vec a_k\right>\underbrace{\delta_{kk}}_{=1}=\left<\vec b\,|\,\vec a_k\right>$$

Formal kannst du dir merken, dass in einem VONS gilt:$$\sum\limits_i\left|\vec a_i\right>\left<\vec a_i\right|=1$$

Avatar von 148 k 🚀

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