Bestimmen Sie eine Basis von Ker((A−2·I3)2).

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie eine Basis von Ker((A−2·I₃)²).

Problem/Ansatz:

A= \( \begin{pmatrix} 1& -1&0\\ 1& 3&0\\ 1&2&2 \end{pmatrix} \)

Der Ker((A−2·I₃)²)=...=kern(\( \begin{pmatrix} 0& 0&0\\ 0& 0&0\\ 1&1&0 \end{pmatrix} \) )

Meiner Meinung nach ist somit der Kern=<\( \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \) >.Diese Vektoren bilden also die Basis vom Kern.

Laut Lösung aus der Vorlesung ist die Basis aber <\( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \)>.

Vermutlich kann man durch das quadrieren die Basis nicht wie gewohnt bestimmen. Was übersehe ich hier?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Ich kann die Quadratur der Matrix bestätigen:$$\left(A-2\cdot I_3\right)^2=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\end{pmatrix}$$

Den Kern finden wir durch Lösung des Gleichungssystems:$$\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$Beim Ausmultiplizieren erhalten wir nur eine einzige Gleichung:$$x_1+x_2=0\quad\implies\quad x_2=-x_1$$

Für die Lösungsvektoren gilt daher:

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\-x_1\\x_3\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$Ich kann daher deine Lösung für den Kern voll bestätigen:$$\operatorname{Kern}\left(A-2\cdot I_3\right)^2=\left(\,\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\,,\,\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\,\right)$$