Die Koordinatengleichung der Ebene:

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene:

\( E: \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\3 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Koordinatengleichung der Ebene: Mit Hilfe des Gauss – Verfahrens

Answer 1

Aloha :)

Der Normalenvektor der Ebene lautet:$$\vec n=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$Die Ebenengleichung lautet daher:

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$$$x_3=3$$\(x_1\) und \(x_2\) können also frei gewählt werden, \(x_3=3\) ist fest vorgegeben.

Comments

Schönen Dank
Wie schaut aber der Lösungsweg mit Hilfe des Gauss – Verfahrens aus?

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Das direkte Verfahren über Gleichungen ist hier schlecht, ich führe es aber trotzdem gerne vor, damit du es mal gesehen hast. Wir schreiben die Koordinaten-Gleichungen hin:

$$x=1+1\cdot s+1\cdot t$$$$y=0+0\cdot s+1\cdot t$$$$z=3+0\cdot s+0\cdot t$$Jetzt suchst du dir eine möglichst einfache Gleichung und stellst sie nach einem Parameter um. Dazu bietet sich die 2-te Gleichung an, denn wir lesen direkt ab:$$t=y$$Nun wählen wir eine andere Gleichung und stellen sie nach dem anderen Parameter um. Da in der 3-ten Gleichung kein \(s\) vorkommt, geht das nur mit der 1-ten Gleichung:$$s=x-1-t=x-1-y$$Jetzt haben wir die beiden Parameter \(s\) und \(t\) durch \(x\) und \(y\) ausgedrückt und können das in die 3-te Gleichung einsetzen.$$z=3+0\cdot\underbrace{(x-1-y)}_{=s}+0\cdot\underbrace{y}_{=t}$$Und das ist der Grund, weshalb diese Gleichung für das direkte Verfahren nicht gut geeignet ist. Durch die Multiplikation mit \(0\) bleibt nämlich einfach nur$$z=3$$übrig. Wenn da keine Nullen stünden, müsstest du die rechte Seite komplett ausrechnen, um zur Koordinatengleichung zu gelangen.