Wahrscheinlichkeit bei Kinobesuch

Question

In einem Linzer Kino setzen sich n Personen zufällig in die erste Reihe, die N ≥ n Plätze hat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich zwischen jeweils 2 Kinobesuchern zumindest ein freier Platz?

Answer 1

Hallo,

das Ergebnis der zufälligen Sitzauswahl ist eine Liste \(s_1 <s_2 < \cdots < s_n\) wobei die \(s_i \in \{1, \ldots, N\}\) die ausgewählten Sitze bezeichnet, davon gibt es \(B(N,n)\) (Binomialkoefff).

Wenn jetzt jeweils mindestens ein Sitz frei bleibt, gilt \(s_{i+1} > s_i+1\). Ich erhalte also mit:

$$p_1:=s_1, p_2:=s_2-1,p_3:=s_3-2, \ldots, p_n:=s_n-n+1$$

eine neue streng monotone Liste mit Elementen in \(\{1, \ldots,N-n+1\}\). Davon gibt es \(B(N-n+1,n)\).

Der Quotient aus beiden Binomialkoeffizienten ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

Gruß