Ist die Abbildung linear?

Question

ich habe das mit den linearen Abbildungen nicht verstanden. Könnte mir jemand bitte bei dieser Aufgabe helfen?

Aufgabe:

Ist die Abbildung linear?

f: ℝ³ ↦ ℝ^2x2       

$\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$  ↦ $\begin{pmatrix} |x| & 0 \\ y & z \end{pmatrix}$

Comments

Ist z.B.

$$f\left( - \begin{pmatrix} 1 \\0\\0\end{pmatrix}\right) = - f\left( \begin{pmatrix} 1 \\0\\0\end{pmatrix}\right)$$

?

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wie meinst du das?

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Genau so wie ich es geschrieben habe? f ist eine Abbildung, da kannst du die beiden Vektoren links und rechts einsetzen und dann vergleichen ob links und rechts dasselbe rauskommt. Wenn f eine lineare Abbildung ist müssen aufgrund der linearen Homogenität beide Seiten gleich sein (da man Skalare - hier -1 - dann einfach aus der Abbildung rausziehen kann)

Answer 1

Aloha :)

Eine lineare Abbildung muss die $0$ immer auf die $0$ abbilden:$$f\!\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\!=f\!\left(\!\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}\!\right)\!=f\!\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\!+\!f\!\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}\!+\!\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}$$Wenn wir also die Linearität der Abbildung $f$ voraussetzen, wird der Null-Vektor nicht auf die Null-Matrix abgebildet. Die Abbildung $f$ ist daher nicht linear.