Berechne vollständige Taylorreihe um x0=0 von f(x)

Question

Aufgabe:

Berechne vollständige Taylorreihe um x₀=0 von

f(x)=ln(2-3x+\( x^{2} \))

Problem/Ansatz:

Ist das die Lösung:

ln(2-3x+\( x^{2} \)) = ln-\( \frac{3x}{2} \) - \( \frac{5x^2}{8} \) - \( \frac{3x^3}{8} \) + O(\( x^{4} \) )

Answer 1

Das ist nicht die vollständige Reihe, wie in der Aufgabe gefordert. Besser vielleicht so:$$f(x)=\ln(2-3x+x^2)=\ln\big((2-x)(1-x)\big)=\ln(2-x)+\ln(1-x)\\f(x)=\ln\bigg(2\left(1-\frac x2\right)\bigg)+\ln(1-x)=\ln(2)+\ln\left(1-\frac x2\right)+\ln(1-x)\\f(x)=\ln(2)-\sum_{k=1}^\infty\frac1kx^k-\sum_{k=1}^\infty\frac1k\left(\frac x2\right)^k=\ln(2)-\sum_{k=1}^\infty\frac1k\left(1+\frac1{2^k}\right)x^k.$$

Comments

Ich habe es mit Wolfram Alpha versucht und habe nun folgendes als Ergebnis:

log(2) - \( \frac{3x}{2} \)  - \( \frac{5x^2}{8} \) - \( \frac{3x^3}{8} \)  + O(\( x^{4} \) )

Deine Rechnung ist ja ok. Aber was wäre denn dann die Lösung?

Laut Aufgabenstellung muss ich ja berechnen. Wie komme ich auf die Lösung von Wolfram Alpha und was bedeutet dieses "O"?