und wenn man den punkt -1 einsetzt kommt deswegen nichts raus - gibt es als keine Tangente?

Question

Aufgabe:

f(x)=(5/2)^x

ist die ableitung dann ln(5/2)*(5/2)^x

und wenn man den punkt -1 einsetzt kommt deswegen nichts raus - gibt es als keine Tangente ?

Answer 1

Aloha :)

Wenn \(x\) im Exponenten steht, wird beim Ableiten einfach mit dem Logarithmus der Basis multipliziert:$$\left(\,\left(\frac{5}{2}\right)^x\,\right)'=\ln\left(\frac{5}{2}\right)\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^x$$

Hintergrund ist folgender:$$\left(a^x\right)'=\left(e^{\ln(a^x)}\right)'=\left(e^{x\ln(a)}\right)'=\ln(a)\cdot e^{x\ln(a)}=\ln(a)\cdot a^x$$

Wieso kommt bei \(x=-1\) nichts raus?

$$f'(-1)=\ln\left(\frac{5}{2}\right)\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^{-1}=\ln\left(\frac{5}{2}\right)\cdot\frac{2}{5}\approx0,366516$$

Comments

ach ja, danke

wäre n dann -ln(2/5) ?

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Meinst du die Tangente im Punkt \(x_0=-1\)? Die Wäre:

$$t(x)=f(-1)+f'(-1)\cdot(x+1)$$$$\phantom{t(x)}=\frac{2}{5}+\frac{2}{5}\ln\left(\frac{5}{2}\right)\cdot(x+1)$$$$\phantom{t(x)}=\frac{2}{5}\ln\left(\frac{5}{2}\right)\cdot x+\frac{2}{5}\left(1+\ln\left(\frac{5}{2}\right)\right)$$$$\phantom{t(x)}\approx0,3665\cdot x+0,7665$$

~plot~ (5/2)^x ; 0,3665*x+0,7665; {-1|0,4} ; [[-3|1|-0,5|2,5]] ~plot~